Geometria

Las cnicas y sus aplicaciones
o

Pedro Alegr
a
Universidad del Pas Vasco


OBJETIVOS:
(*) Denir y construir curvas planas que han tenido una larga historia en la
evolucin de las matemticas pero tambin en muchas otras ramas de la cieno
a
e
cia.
(*) Enunciar algunas propiedades interesantes que las hacen especialmente adecuadas para una gran variedad de aplicaciones.
(*)Comentar aplicaciones en las que se pone de maniesto no slo la utilidad
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sino tambin la belleza de este tipo de curvas.
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Adem´s de las rectas, c´
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ırculos, planos y esferas que conoce cualquier estudiante de Euclides, los griegos sab´
ıan
las propiedades de las curvas que se obtienen al cortar un cono con un plano: la elipse, la par´bola y la hip´rbola.
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Kepler descubri´ alanalizar sus observaciones astron´micas -y Newton lo demostr´ matem´ticamente sobre la
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base de la ley universal de la gravitaci´n- que los planetas describen elipses. As´ se hizo de la geometr´ de la
o
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Grecia antigua piedra angular de la astronom´ moderna.
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J. L. Synge

1.

Origen de las c´nicas
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• Menaechmus (siglo IV a.C.): mostr´ que las c´nicas se obtienen alo
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cortar un cono por planos no paralelos a la base.
• Apollonius de Perga (siglo III a.C.): el primero que las introdujo p´blicamente, escribiendo “Las C´nicas”, el m´s importante tratado
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antiguo sobre las secciones c´nicas.
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Motivo: buscar soluciones s´lo con regla y comp´s de los tres famosos
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problemas griegos.
• Galileo (siglo XVI): demostr´ que las trayectorias de losproyectiles son
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parab´licas.
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• Kepler (siglo XVII): rescat´ las c´nicas al encontrar en la elipse la reso
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puesta al enigma del movimiento planetario, descubriendo que el planeta
Marte tiene ´rbitas el´
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ıpticas y el sol est´ situado en uno de sus focos.
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• Newton (siglo XVII): enunci´ la famosa ley de la gravitaci´n universal,
o
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en base a este descubrimiento; as´ eldescubrimiento de Kepler se deduce
ı
como consecuencia matem´tica de dicha ley.
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1.1.

Trisecci´n de un ´ngulo.
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Sea α un angulo arbitrario. Se construye la circunferencia de centro O y radio

OA = OB de modo que AOB = α. Sea la recta OC bisectriz de α. Con
OC como directriz y B como foco, se construye una rama de hiprbola de exe
centricidad e = 2. Sea P el punto de interseccinde la hiprbola con el arco
o
e
de circunferencia AB . Anlogamente se obtiene el punto P utilizando A como
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foco.

Por denicin de hiprbola, BP = 2P D y AP = 2DP . Adems, debido
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a la simetr P D = DP . En denitiva, resulta que BP = P P = P A y
a,
queda as trisecado el angulo α.



1.2.

Duplicaci´n del cubo.
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La leyenda arma que el rey Minos de Creta habaordenado erigir a su hijo una

tumba en forma de cubo y que, por negligencia del constructor, result demasiado
o
peque~a. Hubo necesidad de demoler el cubo de mrmol de 100 pies de arista y
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sustituirlo por otro de volumen doble.
En todo caso, el problema de Delos hall ya en la antigedad diversas soluciones
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u
constructivas, aunque desde luego ninguna con el uso exclusivo de laregla y el
comps, porque si llamamos a a la arista del cubo original y x a la del cubo
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duplicado, el problema se reduce a resolver 2a3 = x3.
Solucin de Hipcrates:
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Sean las parbolas de ecuaciones x2 = ay , y 2 = 2ax. La abscisa del punto de
a
√
interseccin de ambas es x = a 3 2, igual a la arista del cubo doble.
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2.

Distintas definiciones de c´nica
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2.1.

Puntode vista hist´rico.
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a) Secciones perpendiculares a una generatriz, para diferentes conos:

α agudo: elipse

α recto: par´bola
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α obtuso: hip´rbola
e

(α es el angulo formado por dos generatrices diametralmente opuestas)


b) Distintas secciones de un mismo cono.

Se observa que si el plano atraviesa el cono paralelamente a su base, la seccin
o
es un c
rculo....