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El nombre de función hiperbólica, surgió de comparar el área de una región semicircular, con el área de una región limitada por una hipérbola. En ciertas ocasiones las combinaciones de ex, e-x aparecen frecuentemente.
En las ecuaciones hiperbólicas , se acostumbra escribir el modelo matemático que le corresponde utilizando las funciones hiperbólicas definidas como sigue:
La función f: [R![R,definida por:
 f(x) = senh x = , x " R, se denomina función seno hiperbólico.
 f(x) = cosh x = , x " R, se denomina función coseno hiperbólico.
 f(x) = tgh x = , x " R, se llama función tangente hiperbólico.
 f(x) = cotgh x = , x " 0, se llama función cotangente hiperbólico.
 f(x) = sech x = , x " R, se llama función secante hiperbólico.
 f(x) = cosch x = , x " 0, se llama funcióncosecante hiperbólico.
Con la ayuda de las derivadas y los límites para hallar los extremos, concavidades y asíntotas, se pueden graficar estas funciones fácilmente. Su gráficos se muestran en las siguientes figuras.

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Inversas de las funciones hiperbólicas
Las funciones recíprocas de las funciones hiperbólicas son:

Las series de Taylor delas funciones inversas de las funciones hiperbólicas vienen dadas por:

FUNCIONES HIPERBOLICAS
Definiciones e Identidades
Las combinaciones
Cosh u = ½ ( e ^u + e ^-u) ( coseno hiperbólico de u)
Senh u = ½ ( e ^u - e ^-u) ( seno hiperbólico de u)
se presentan con tanta frecuencia en las aplicaciones que ha creído conveniente darles un nombre especial. De momento puede que no este clara laecuación de los nombres introducidos, que resultaran obvios mas adelante.
Estas funciones se relacionan entre sí mediante reglas muy parecidas a las reglas que relacionan a las funciones cos u y sen u. Así como cos u y sen u pueden identificarse con el punto ( x, y) en el circulo unitario x² + y² = 1, así también las funciones cosh u y senh u pueden identificarse con las coordenadas de un punto ( x,y) sobre la hipérbola unitaria x² - y² =1.
A propósito suele pronunciarse cosh u como “cosh u” y senh u como “ senh u”.
Para comprobar que el punto de coordenadas x = cosh u e y = senh u esta sobre la hipérbola unitaria, sustituimos las relaciones que las definen en la ecuación de la hipérbola:
x² - y² =1
cosh² u - senh² u = 1
¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ -2u) - ¼ (e ^ 2u - 2 + e ^ -2u) = 1
¼ ( e ^2u + 2 + e ^ -2u - e ^ -2u + 2 - e ^ -2u) = 1
¼ ( 4) = 1
En realidad, si hacemos
x = cosh u = ½ ( e ^ u + e ^ -u).
y = senh u = ½ ( e ^ u - e ^ -u).
entonces, cuando u varia de - oo a + oo, el punto P ( x, y) describe la rama derecha de la hipérbola x² - y² = 1.
El primer elemento de la trigonometría hiperbólica que acabamos de establecer es la identidad básica
cosh² u - senh ² u = 1.Esta expresión es análoga, pero no igual, a la identidad trigonometrica ordinaria cos² u + sen² u = 1.
Las funciones hiperbólicas restantes se definen en términos de senh u y cosh u como sigue:
Tangente

Cotangente

Secante

Cosecante

Dividiendo la identidad por cosh² u, resulta
1 - tanh² u = sech² u
Si dividimos por senh² u, obtenemos
coth² u - 1 = csch² u
Se deduce que
cosh u + senhu = e ^ u
cosh u - senh u = e ^ -u
Es, pues, evidente que cualquier combinación de las exponenciales e ^ u y e ^ -u puede sustituirse por una combinación de senh u y cosh u, y viceversa.
Como e ^ -u es positivo, se muestra que cosh u siempre es mayor que senh u. Pero para valores grandes de u, e ^ -u es pequeño y cosh u = senh u.
En x = 0, cosh x = 1 y senh x = 0, de modo que todas lasfunciones hiperbólicas tienen en x = 0 los mismos valores que las funciones trigonometricas correspondientes. El coseno hiperbólico es una funcion par, esto es,
cosh ( -x) = cosh x,
y el seno hiperbólico es una función impar, es decir,
senh (-x) = - senh x ;
de manera que la primera curva es simétrica respecto al eje x y la segunda lo es respecto al origen. Las funciones hiperbólicas se comportan...