Gradiente

Definición de un campo de vectores: sean M y N funciones de dos variables x y y, definidas en una región plana R. la función F definida por
Fx,y=Mi+Nj Plano.
Se llama un campo de vectores en R.
Sea M, N y P funciones de tres variables x,y y z, definidas en una región solida Q en el espacio. La función F definida por
Fx,y,z=Mi+Nj+PK Espacio.
Se llama un campo de vectores en Q.Nota: aunque un campo de vectores esta constituido por infinitos vectores, se puede obtener una idea aproximada de su estructura dibujando varios vectores representativos Fx,y, cuyos puntos iniciales son (x,y).

De esta definición se puede ver que el gradiente es un ejemplo de un campo de vectores. Por ejemplo, si
fx,y=x2+y2
Entonces el gradiente de f
∇fx,y=fxx,yi+fyx,yj=2xi+2yj Campo devectores en el plano.
Es un campo de vectores en el plano, la interpretación grafica de este campo es una familia de vectores cada uno de los cuales apunta en la dirección de máximo incremento a lo largo de la superficie dad por z=f(x,y). Para esta función particular, la superficie es un paraboide y el gradiente informa que la dirección de máximo incremento a lo largo de la superficie es ladirección dad por el rayo que va del origen a través del punto x,y.
De manea similar, si
fx,y,z=x2+y2+z2
Entonces el gradiente de f
∇fx,y,z=fxx,y,zi+fyx,y,zj+fzx,y,zk=2xi+2yj+2zk Campo de vectores en el espacio.

Un campo de vectores es continuo en un punto si cada una de sus funciones componentes M,N y P es continuo en ese punto.

Campos vectoriales conservativos.
En la figura que se daa continuación todos los vectores parecen normales a la curva de nivel de la que emergen. Por que esta es una propiedad de los gradientes, es natural pregunta si el campo vectorial dado por Fx,y=2xi+yj es el gradiente de alguna función diferenciable f. La respuesta es algunos campos vectoriales, denominados campos vectoriales conservativos, pueden presentarse como los gradientes de funcionesdiferenciables, mientras que algunos otros no pueden.

Definición de campos vectoriales conservativos: un campo vectorial F se llama conservativo si existe una función diferenciable f tal que F=∇f.La función f se llama función potencial para F.
Ejemplo.
El campo vectorial dado por Fx,y=2xi+yj es conservativo. Para comprobarlo, considere la función potencial fx,y=x2+12. como ∇f=2xi+yj=F se sigue queF es un campo conservativo.

El gradiente de una función de dos variables

Es una función vectorial de dos variables. Esta función tiene múltiples aplicaciones importantes, algunas de las cuales se describen más adelante
Definición de gradiente de una unción de dos variables: sea z=fx,yuna función de x y y tal que fx y fy existen. Entonces el grdiente de f denotado por ∇fx,y, es el vector∇fx,y=fxx,yi+fyx.yj
∇f Se lee como “delta f”. Otra notación para el gradiente es gradiente es grad f(x,y). En la figura siguiente hay que observar que para cada (x,y), el gradiente ∇f(x,y)es un vector en el punto (no un vector en el espacio).

Nota: el símbolo ∇ no tiene ningún valor. Es un operador de la misma manera que ddxes un operador. Cuando ∇ opera sobre fx,y, produce el vector ∇f(x,y).Ejemplo.
Hallar el gradiente de fx,Y=y lnx+xy2 en el punto (1,2).
Solución. Utilizando
fxx,y=yx+y2 y fyx,y=lnx+2xy
Se tiene
∇fx,y=yx+y2i+lnx+2xyj
En el punto (1,2), el gradiente es
∇f1,2=21+22i+ln1+21(2)j=6i+4j.
Como el gradiente de fes un vector, se puede expresar la derivada direccional de f en la dirección de u como
Dufx,y=fxx,yi+fyx,yj. cosθi+sinθj
En otras palabras, laderivada direccional es el producto escalar del gradiente y el vector dirección.

Aplicaciones del gradiente
Se ha visto ya que hay muchas derivadas direccionales en un punto (x,y) de una superficie. En muchas aplicaciones, se desea saber en que dirección moverse de manera que f(x,y) crezca mas rápidamente. Esta dirección se llama la dirección de mayor ascenso, y viene dada por el gradiente,...