Gradiente

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL
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ESPECIALIDAD DE INGENIERIA INFORMTICA

“AÑO DE LAS CUMBRES MUNDIALES EN EL PERÚ”

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

ALUMNOS:

Chapilliquén Suárez, Milton David.
Ramírez Salvador, Elvis.
Rivera Ácaro, Joel.

PROFESOR:

Lic. EllisHidalgo.

CURSO:

Matemática III.

CICLO:

III.

Piura, 11 de septiembre del 2008.

GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN ESCALAR
Sea ∅x,y,z una función escalar; al gradiente de la función escalar ∅x,y,z denotaremos pro grad∅, y es el vector definido por:

grad∅=∂∅∂xi+∂∅∂yj+∂∅∂zk

Ejemplo: Si ∅x,y,z=xy+yz+xz Hallar el grad ∅(1,1,3)
Solución
Si ∅x,y,z=xy+yz+xz sus derivadas parcialesson:
∂∅∂xx,y,z=y+z∂∅∂yx,y,z=x+z∂∅∂zx,y,z=x+y → ∂∅∂x1,1,3=4∂∅∂y1,1,3=4∂∅∂z(1,1,3)=2
grad∅(1,1,3)=∂∅(1,1,3)∂xi+∂∅(1,1,3)∂yj+∂∅(1,1,3)∂zk
∴grad∅1,1,3=4i+4j+2k
EL OPERADOR ∇
El operador vectorial diferencial es dada por:

∇=∂∂xi+∂∂yj+∂∂zk

El operador vectorial diferencial no es un vector, sino un operador, sin embargo puede considerarse como unvector simbólico. Si ∅x,y,z es un campo escalar, entonces ∅∇ es un operador, mientras ∇∅ da la importante función vectorial llamada gradiente, en forma similar si f es una función vectorial diferenciable, entonces ∇.f y ∇×f da importantes funciones escalares y vectoriales respectivamente.
NOTA: El operador diferenciable ∇ se lee NABLA.

INTRODUCCIÓN DEL OPERADOR DIFERENCIAL ∇ AL GRADIENTEComo ∇=∂∂xi+∂∂yj+∂∂zk , entonces: grad∅=∇∅=∂∂xi+∂∂yj+∂∂zk
Propiedades del Gradiente:
Sean ∅ y ψ funciones escalares diferenciables y c una constante.
1) ∇c,∅=c∇∅
2) ∇∅ψ=∅∇ψ+ψ∇∅
3) ∇∅+ψ=∇∅+∇ψ
4) ∇fu,v,ψ=∂f∂x∇u+∂f∂y∇v+∂f∂z∇w
Ejemplo: Para un vector arbitrario constante a , mostrar que: ∇a,r=a , donde r es el vector de posición.
Solución
Sean a=a1,a2,a3 y r=x,y,z → a.r=a1x+a2y+a3z
∇a,r=∂a,r∂xi+∂a,r∂yj+∂a,r∂zk=a1i+a2j+a3k=a1,a2,a3=a
∴∇a,r=a
Ejemplo: Si ∅=∅(x,y,z) Mostrar que ∇∅ .dr=d∅
Solución
Sea r=xi+yj+zk , su diferencial dr=dxi+dyj+dzk , calculando el gradiente de ∅
∇∅=∂∅∂xi+∂∅∂yj+∂∅∂zk
∇∅ .dr=∂∅∂xi+∂∅∂yj+∂∅∂zk.dxi+dyj+dzk=∂∅∂xdx+∂∅∂ydy+∂∅∂zdz=∅

∴∇∅ .dr=d∅

DIVERGENCIA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Si una función vectorial es f=f1,f2,f3 , dondef1,f2,f3 son funciones escalares, entonces el producto escalar de la función vectorial f y el vector simbólico ∇ es decir:
∇f se denomina la divergencia de la función vectorial y se denota por divf=∇.f es decir:
divf=∇.f=∂f1∂x+∂f2∂y+∂f3∂z
a) TEOREMA: Si f y g son dos funciones vectoriales, mostrar que:
∇.f +g=∇.f +∇.g
Demostración
Si f=f1,f2,f3 y g=g1,g2,g3 , entonces setiene:
f +g=f1+g1,f2+g2,f3+g3,
∇f +g=∂∂xf1+g1+∂∂yf2+g2+∂∂zf3+g3
=∂f1∂x+∂f2∂y+∂f3∂z+∂f1∂x+∂f2∂y+∂f3∂z=∇.f +∇.g
b) TEOREMA: Si ∅ es una función escalar, entonces la divergencia del gradiente de ∅ es divgrad∅=∂2∅∂x2+∂2∅∂y2+∂2∅∂z2
Demostración
Como grad∅=∇.∅=∂∅∂xi+∂∅∂yj+∂∅∂zk → grad∅=∂∅∂xi+∂∅∂yj+∂∅∂zk
divgrad∅=∇.∇.∅=∂∂x∂∅∂x+∂∂y∂∅∂y+∂∂z∂∅∂z=∂2∅∂x2+∂2∅∂y2+∂2∅∂z2
La divergencia delgradiente ∇.∇ se escribe como ∇2. Entonces ∇.∇.∅ se escribe como ∇.∇∅=∇2∅ . Al operar ∇2 le llamamos el Laplaciano, es decir:
Laplaciano =∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2 entonces se tiene:
∇2∅=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2∅=∂2∅∂x2+∂2∅∂y2+∂2∅∂z2

Definición:
Una función escalar ∅ se dice armónica si es continua, tiene segundas derivadas continuas y satisface a la ecuación de Laplace.
∇2∅=0
Ejemplo: Mostrar que lafunción 1r, donde r=r=(x2+y2+z2)12 es una función armónica siempre que r≠0
Solución
Claramente 1r es continua, puesto que x2,y2,z2 y r son continuas entonces el Laplaciano:
∇21r=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2(x2+y2+z2)-12
=∂2∂x2(x2+y2+z2)-12+∂2∂y2(x2+y2+z2)-12+∂2∂z2(x2+y2+z2)-12 …(1)
De donde la primera y la segunda derivada parciales de 1r con respecto a x son:
∂∂x(x2+y2+z2)-12=-x(x2+y2+z2)-32...