Guía razones de cambio relacionadas

GUÍA RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS
1. Un ni˜
no usa una pajilla para beber agua de un vaso c´
onico (con el v´ertice hacia abajo) a raz´on de 3 cm3 /seg. Si la
altura del vaso es de 10 cm y si el di´ametro de la parte superior es de 6 cm, ¿con qu´e rapidez baja el nivel del agua
cuando la profundidad es de 5 cm? ¿Cu´
al es la variaci´
on del radio en ese mismo instante?
2. La longitud del largode un rect´
angulo disminuye a raz´
on de 2 cm/seg, mientras que el ancho aumenta a raz´on de
2 cm/seg. Cuando el largo es de 12 cm y el ancho de 5 cm, hallar:
a. la variaci´
on del ´area del rect´angulo
b. la variaci´
on del per´ımetro del rect´angulo
c. la variaci´
on de las longitudes de las diagonales del rect´
angulo
3. Dos lados de un tri´
angulo miden 4 m y 5 m y el ´angulo entre ellosaumenta con una rapidez de 0,06 rad/seg. Calcule
la rapidez con que el ´area y la altura del tri´
angulo se incrementan cuando el a´ngulo entre los lados es de π/3.
4. Una luz est´a en el suelo a 45 metros de un edificio. Un hombre de 2 metros de estatura camina desde la luz hacia el
edificio a raz´on constante de 2 metros por segundo. ¿A qu´e velocidad est´a disminuyendo su sombra sobre el edificio
enel instante en que el hombre est´a a 25 metros del edificio?
5. Un globo est´a a 100 metros sobre el suelo y se eleva verticalmente a una raz´on constante de 4 m/seg. Un autom´ovil
pasa por debajo viajando por una carretera recta a raz´
on constante de 60 m/seg. ¿Con qu´e rapidez cambia la
distancia entre el globo y el autom´
ovil 1/2 segundo despu´es?
osito de agua en forma de cono invertido.Cuando el dep´
osito se descarga, su volumen disminuye
6. Considere un dep´
a raz´on de 50 π m3 /min. Si la altura del cono es el triple del radio de su parte superior, ¿con qu´e rapidez var´ıa el
nivel del agua cuando est´
a a 5 m del fondo del dep´
osito?
7. Un globo asciende a 5 m/seg desde un punto en el suelo que dista 30 m de un observador. Calcular el ritmo de
cambio del ´angulo de elevaci´
oncuando el globo est´a a una altura de 17,32 metros.
8. Considere un tri´
angulo rect´angulo de catetos a y b. Si el cateto a decrece a raz´on de 0,5 cm/min y el cateto b crece
a raz´on de 2 cm/min, determine la variaci´
on del ´area del tri´angulo cuando a mide 16 cm y b mide 12 cm.
9. Dos lados paralelos de un rect´angulo se alargan a raz´
on de 2 cm/seg, mientras que los otros dos lados seacortan
on del
de tal manera que la figura permanece como rect´angulo de a´rea constante igual a 50 cm2 . ¿Cu´al es la variaci´
lado que se acorta y la del per´ımetro cuando la longitud del lado que aumenta es de 5 cm?
10. Un tanque c´onico invertido de 10 m de altura y 3 m de radio en la parte superior, se est´
a llenando con agua a raz´
on
constante. ¿A qu´e velocidad se incrementa el volumen del aguasi se sabe que cuando el tanque se ha llenado hasta
la mitad de su capacidad, la profundidad del agua est´
a aumentando a raz´on de un metro por minuto? ¿Cu´
anto
tiempo tardar´
a el tanque en llenarse?
11. Se vierte arena en el suelo a raz´on de 0,4 m3 por segundo. La arena forma en el suelo una pila en la forma de un
cono cuya altura es igual al radio de la base. ¿A qu´e velocidad aumenta laaltura de la pila 10 segundos despu´es de
que se empez´o a vertir la arena?

12. Un rect´angulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados positivos y su v´ertice opuesto al origen est´a sobre la
un se muestra en la figura adjunta. En este v´ertice, la coordenada y aumenta a raz´on
curva de ecuaci´on y = 2x , seg´
de una unidad por segundo. ¿Cu´
al es la variaci´
on del ´
area del rect´angulocuando x = 2?

4.3.1

Respuestas de los ejercicios complementarios

1. El nivel del agua disminuye a raz´
on de 4/3π cm/seg y el radio disminuye a raz´on de 2/5π cm/seg.
2. (a) El a´rea aumenta a raz´on de 14 cm2 /seg.
(b) El per´ımetro no var´ıa.
(c) Las diagonales disminuyen a raz´
on de 1,08 cm/seg.
3. El ´
area aumenta a raz´on de 0,30 m2 /seg. La altura aumenta a raz´
on de 0,12 m/seg,...