Gui A 1 Nu Meros Reales A Lgebra I 2014 02

Gu´ıa 1: N´
umeros Reales
´
Algebra
I
Segundo Semestre 2014

1. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si es verdadera debe justificar se˜
nalando ´el o los axiomas quedemuestran la afirmaci´on. Si es falsa d´e un contraejemplo.
a) Para todo a, b ∈ R se tiene que si ab = 1, entonces a = 1 o b = 1.
b) Dados x, y ∈ R, si x2 = y 2 , entonces x = y.
c) Sean a, b, c ∈ Rtales que ab = ac, entonces b = c.
√ √
√
d ) La igualdad xy = x y es v´
alida para todo x, y ∈ R.
e) Sea a ∈ R. Si a > 1, entonces a2 > a.
f ) Sea x un n´
umero real tal que x < 1, entonces que x2 < x.g) Sean a, b ∈ R. Si a < b, entonces que a2 < b2 .
h) Sea a ∈ R. Si a > 0, entonces a−1 > 0.
2. Determine donde esta el error en la siguiente demostraci´on:
Sean x, y ∈ R tal que x = y, entonces setiene que
x2
x2 − y 2
(x + y)(x − y)
x+y
2y
2

=
=
=
=
=
=

xy
xy − y 2
y(x − y)
y
y
1

3. Demuestre las siguientes proposiciones:
1
≥ 2.
x
√
a+b
Sean a, b ∈ R tal que 0 < a < b, entonces ab <
< b.
2
√√
√
Dados a, b ∈ R+ , entonces a + b ≤ a + b.
√
2ab
Sean a, b ∈ R+ tales que b < a, entonces ab ≥
.
a+b
Para todo x, y ∈ R+ se cumple que (x + y)(x−1 + y −1 ) ≥ 4.

a) Sea x ∈ R tal que x > 0, entoncesx +
b)
c)
d)
e)

4. Determine los valores r ∈ R para que 3 sea soluci´on de la ecuaci´on 4x2 − (r + 1)x + (2 − r) = 0.
5. Dada la ecuaci´
on ax2 + (1 + a)x + 1 = 0. Determine los valores de a ∈ Rpara los cuales la ecuaci´
on
no tiene soluci´
on en R.
6. Sea r en R y considere la ecuaci´
on (1 − r)x2 + x + (1 − r) = 0.
a) ¿Para qu´e valores de r, la ecuaci´
on (1 − r)x2 + x + (1 − r) = 0 tienesus soluciones reales e iguales?
b) ¿Para qu´e valores de r, la ecuaci´
on (1 − r)x2 + x + (1 − r) = 0 tiene una u
´nica soluci´on real?
7. Un fabricante de harina quiere obtener una tonelada de undeterminado tipo de ella, para venderla a
$2.100 por kg. Para obtenerla va a mezclar dos tipos de harina de los que ya dispone y que cuestan
$2.400 por kg y $1.600 por kg, respectivamente.
a)...