Guia Algebra

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Univesidad Cat´lica de Valpara´ o ıso Carrera de Ingenier´ El´ctrica ıa e Prof.: Jorge Ovalle Ovalle

Gu´ de Ejercicios ıa I. L´gica o 1. Dadas las proposiciones p, q, r, hacer la tabla de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a) p ⇒ (p ∨ q). b) (p ∧ (q ∨ r)) ⇒ ((p ∨ q) ∧ r). c) (p ∧ q) ⇔ (p ∨ q). 2. Dadas las proposiciones p, q, r, s, simplifique (al m´ximo) las siguientesproposiciones, a clasificando cada una de ellas seg´n sean tautolog´ contradicciones o contingencias: u ıas, a) (p ∨ r ∧ (r ∨ p)). b) [p ∧ (p ⇒ (q ⇒ r)) ∧ q] ⇒ r. c) [[(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)] ∧ (r ⇒ p)] ⇒ (p ⇒ q). d ) [(p ⇒ q) ⇒ r] ⇒ [((p ∧ q) ⇒ r) ∧ ((p ∧ q) ⇒ r)]. e) (p ⇒ q) ∧ (p ∧ q ∧ r). 3. Dadas las proposiciones p, q, r, determine, en cada caso, si la informaci´n dada es suficiente o para decidiracerca del valor de verdad de la proposici´n. Si la informaci´n es suficiente, o o halle el valor de verdad correspondiente, y, si es insuficiente, demuestre que ambos valores de verdad son admisibles. a) (p ⇒ q) ⇒ r, donde r ≡ V . b) p ∧ (q ⇒ r), donde (q ⇒ r) ≡ V . c) (p ∧ q) ⇒ (p ∨ r), donde p ≡ V y r ≡ F . 4. Sean p, q, s tres proposiciones. Determine el valor de verdad de la proposici´n q,sabiendo o que p ≡ F , s ≡ F y [p ⇔ (s ∨ q)] ≡ V .

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5. Encuentre los valores de las proposiciones p, q, r, sabiendo que la proposici´n [(p ∧ q) ∨ o (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)] es falsa. 6. Sean p, q, r tres proposiciones. Si definimos el conectivo por p q ⇔ (q ⇒ (p ∧ q)), simplifique (al m´ximo), y clasifique (as´ como se pide en el ejercicio 2), la siguiente a ı proposici´n: o (p ∨ (r II. Cuantificadores
71. Considere los conjuntos A = {0, 3, 6} y B = { −1 , 2, 3 }. Determine el valor de verdad de 4 las siguientes proposiciones:

r)) ⇒ (p

r).

a) (∀x ∈ A)(∃y ∈ B)(xy + 1 y ≥ 1)}. 2 b) (∃x ∈ B)(∀y ∈ A)(x + y < 1)}. 2. Sea U = {1, 0, 1} y consideremos la funci´n proposicional en U , p(x, y) : xy = y. Determine o el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) (∀x ∈ U )(∀y ∈ U )(p(x, y)).b) (∃x ∈ U )(∀y ∈ U )(p(x, y)). c) (∃x ∈ U )(∃y ∈ U )(p(x, y)). 3. Sea V = N. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) (∀x ∈ V )(∃y ∈ V )(y = x − 5). b) (∀y ∈ V )(∃x ∈ V )(y = 2x + 1). 4. Escriba la negaci´n de las siguientes proposiciones: o a) (∀x ∈ R)(∃y ∈ R)(xy = 1). b) (∃y ∈ R)(∀x ∈ R)(x − y ≤ 0). c) (∃x ∈ Z)(p(x) ∧ q(x) ⇒ r(x)), donde p(x), q(x) y r(x) son funcionesproposicionales definidas en Z. d ) (∀ > 0)(∃δ > 0)(a < b ⇒ b > ), donde , δ, a y b son n´meros reales. u 5. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) (∃x ∈ N0 )(∀y ∈ R)(x + y = y).

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b) (∀x ∈ R+ )(x2 = 1 ⇒ x = 1), donde R+ representa el conjunto de todos los n´meros u reales mayores que 0. 6. Sea U = N. Demuestre que la proposici´n o (∃x ∈ U )(∃y ∈ U )(xy = y x ) esverdadera. III. Teor´ de conjuntos ıa 1. Considere los conjuntos A = {x ∈ N/x + 5 ≥ 10} y B = {x ∈ Z/2x + 1 ≥ 5}. Determine por extensi´n los siguientes conjuntos: o a) A ∪ B. b) Ac − B. c) B c ∩ (A − B). (Aqu´ el conjunto de referencia (conjunto universo) es U = A ∪ B.) ı, 2. Sean A, B conjuntos. Determine el valor de verdad de la proposici´n o (A ∩ B) − C = (A − C) ∩ (B − C). 3. Sea X un conjuntono vac´ En P(X) se define la operaci´n ıo. o Determine el valor de verdad de la siguiente proposici´n: o (∃Y ∈ P(X))(∀A ∈ P(X))(A Y = A ∧ Y por A B = A ∩ B.

A = A).

4. Sean A, B, C conjuntos. Utilizando ´lgebra de conjuntos, simplifique las siguientes exprea siones: a) (A ∩ B)c ∩ A ∩ (A − B)c .

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b) [A ∩ (B ∩ Ac )] ∪ [B − (A ∪ B)]. c) [(A ∩ C) − B] ∪ [(B ∩ C) − A] ∪ (C − A) ∪ C. o 5.Considere los conjuntos A = {−1, 1, 2} y B = { −1 , 1, −1 }. Determine por extensi´n los 2 3 siguientes conjuntos: a) C = {x ∈ A/(∃y ∈ B)(x + y > 1)}. b) D = {x ∈ B/(∀y ∈ A)(x + y < 1)}. c) E = {x ∈ A)(∃!y ∈ B)(x + y = 1)}. 6. Sean A, B dos conjuntos no vac´ Se define la operaci´n ıos. o A B = [(A − B) ∪ (B − A)]c . Dados los conjuntos X, Y , determine el valor de verdad de las siguientes...