guia de ejercicios

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
1. En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para
que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro
ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como
decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula
razonadamente la cuantía delmáximo premio que se pueda obtener en este concurso.

A(x, y) = x·y (Función Objetivo)
Condición: 2x+2y = 2

y
x
Condición: 2x+2y = 2 ⇒ x+y = 1 ⇒
Función Objetivo: A(x, y) = x·y

⇒

y =1-x
A(x)= x·(1-x) = x-x2
A´(x)=1-2x

A´(x) = 0 ⇒ 1-2x = 0 ⇒ x =1/ 2 m.
A´´(x) = -2 ⇒ A´´(1/2) = -2 < 0

(es un máximo)

Solución: x = 5 dm. e y = 5 dm., siendo Área = 25 dm2.
Cuantía máxima apercibir por el premio = 25 €.
2. Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una
zona rectangular y dividirla en tres partes. Las alambradas de las divisiones deben
quedar paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener la
zona cercada para que su área sea la mayor posible?

y

y

y

y

x

Condición: 2x+4y = 160 ⇒ y =

Función:A(x, y) = x·y (Función objetivo)
Condición: 2x+4y = 160

80 − x
2

A(x, y) = x·y
x2
⎛ 80 − x ⎞
= 40xA(x) = x· ⎜
⎟
2
⎝ 2 ⎠
-. 1/25.-

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
⇒

A´(x) = 40-x

A´(x) = 0 ⇒ x = 40 m.

A´´(x) = -1 < 0 (el punto es un máximo)
Para x = 40 m. resulta y =

80 − 40
⇒ y = 20 m.
2

Solución: x = 40 m, y = 20 m.
3. Se dispone de 400 metros dealambrada para vallar un solar rectangular. ¿Qué
dimensiones deberá tener el solar para que con esa alambrada se limite la mayor área
posible? Razonar el proceso.

Función: A(x, y) = x·y
Condición: 2x+2y =400

y
x

Condición: 2x+2y =400 ⇒ x + y =200 ⇒ y = 200-x
Función: A(x, y)=x·y
A(x) = x·(200-x) = 200x-x2
A´(x) = 200-2x ⇒ A´(x) = 0 ⇒
A´´(x) = -2 < 0

x = 100 m

⇒ x = 100 es unmáximo, siendo y = 200-100=100

Solución: x = 100 e y = 100, es un cuadrado
4. Un terreno de forma rectangular tiene 400 m2 y va a ser vallado. El precio del metro
lineal de valla es de 4 euros. ¿Cuáles serán las dimensiones del solar que hacen que el
costo de la valla sea mínimo?

Perímetro del vertedero: P = 2x+2y
400 m

2

y

Coste cerca: 4·P = 4(2x)+4(2y) = 8x+8y (función objetivo)x
Condición: x·y = 400

Condición: x·y = 400 ⇒ y =

400
x
-. 2/25.-

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Coste cerca: C(x, y) = 8x+8y

3200
⎛ 400 ⎞
C(x) = 8x+8 ⎜
⎟ = 8x+
x
⎝ x ⎠
3200
C´(x) = 8- 2 ⇒ C´(x) = 0 ⇒ x2=400 ⇒ x = ± 20; Solución válida x = 20 m.
x
2
⇒ C´’(20)= 0.8 > 0
Es un mínimo
C´´(x) = 3200· 3
x
400
Para x = 20 m., siendo y =
⇒ y = 400/20 = 20 m.
xSolución: Las dimensiones del solar son cuadradas con x = 20m. e y = 20m.
5. Supongamos que el solar del problema anterior tiene 200 m2 y un lado a lo largo del
río requiere una valla más costosa de 5 euros el metro lineal. ¿Qué dimensiones darán
el costo más bajo?

Río

Función: C(x, y) = 4·(2x) + 4y + 5y
Condición: x·y = 200

y
x

200
x
Función objetivo: C(x, y) = 4·(2x) + 4y + 5y= 8x + 9y
Condición: x·y = 200 ⇒ y =

C(x) = 8x + 9

C´(x) = 8x+

200
1800
= 8x +
x
x

1800
⇒ C´(x)=0 ⇒ x =
x2

C´´(x) = 1800

2 3600
= 3
x2
x

⇒ C´´(15) =

225 = ±15 (Solución válida: 15 m.)

3600
> 0.
153

Luego, en x =15 hay un mínimo, siendo y = 40/3.
Solución: Las dimensiones del solar serán en este caso x =15 m. e y = 40/3 m.

-. 3/25.-

RELACIÓN DEPROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
6. (El Problema del Cable más Corto) Dos postes con longitudes de 6 y 8 metros
respectivamente se colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas una
distancia de 10 metros. Calcule aproximadamente la longitud mínima de un cable que
pueda ir desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo entre los
postes y luego hasta la punta del otro...