guia de matematica. funciones

2012
UNIDAD III – Apuntes de FUNCIONES

Alexis Fernández
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMATICA
SEMESTRE I -2012

1

APUNTES DE FUNCIONES
CONSIDERACIONES PREVIAS
PAR ORDENADO
Dados dos elementos a y b se llama par ordenado de los elementos a y b de primer elemento a y segundo elemento b al conjunto { {a}, {a,b}} (par de Kuratowski)
NOTACIÓN: para indicar un par ordenado, se emplea unparéntesis de la forma (a, b) de dos elementos.
AL objeto a se llamará primer elemento, primer componente o primera coordenada; a b se le llamará segundo
elemento, segundo componente o segunda coordenada.
PARES IGUALES: Dos pares ordenados cumplen: (a, b) = (c, d) si y sólo si a = c y b = d
Ejemplo: Si el par (x+5, 3) es igual al par (9, z +1) Cuanto vale "x" y “z”, cuál es el par ordenado?
En lospares dados, se iguala x+5 = 9 ∧ 3 = z + 1, luego x = 4 ∧ 2 = z, el par es (9, 3)
Ejemplo: Obtenga el valor de las variables para que estos pares sean iguales  x  1  x ; 5    3; y  3 y 




 2

Solución:

5 3



5

2 

x 1 x
25
  3  5( x  1)  2 x  10.3  3x  25  x 
2
5
3
5 y 3y
 5.10  6 y  15.3 y
 
3 5 2

 50  39 y



y

50
39Ejercicios: Obtenga el valor de las variables para que los pares ordenados dados sean iguales

5 
3 


; 3   3x  2 ; 1 - y 
2 
4 


1
 x2 x3
 1 y y  3
2) 

, -    ,


6
2
4 
 3
4 2
x 2 1

 y3 y
3)   2 x  1 
;    2;
 
3 2
2
6


1
1
 2x  3


4) 
, y - 1   x  , 3y + 
3
4
 5


1 3

4 2  4y 
5)  x  ;  
  x;

2 5
6 

3
1)  5x 

Sol: x =
Sol: x =

8
9
;y=4
3
17
; y=1
2

1
; y = --3
7
5
14
Sol: x =
; y=9
8
3
7
Sol: x = - ; y =
2
5
Sol: x = 

PRODUCTO CARTESIANO:
Dados los conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A por B, (A x B) al conjunto de todos los pares (x,y)
cuyo primer componente pertenece a A y el segundo aB.
Simbólicamente: A x B = {(x,y)  xA  yB}.
Los conjuntos A y B son los factores del producto cartesiano. Si A  B entonces A x B  B x A, es decir el Producto
Cartesiano no es conmutativo; en general si A = B, entonces se conviene en representar el producto A x A por la
notación A2. Si A tiene n elementos y B tiene m elementos, entonces A x B será un conjunto de nxm elementos.
Ejemplo:Sea A = {2,3} y B = {h, i, j} luego A x B = {(2,h),(2,i),(2,j),(3,h),(3,i),(3,j)}

2

El producto cartesiano puede ser representado gráficamente en un sistema de coordenadas cartesiano, colocando
en el eje horizontal, las primeras componentes del par ordenado y en el eje vertical las segundas componentes.
Ejemplo: Sea A = {xR  a x  x = 5} Halle AxB, Graficar solución
 Dados C = {xR  -3< x  -1}; D = {xZ  2 5};

Determine gráficamente (L - M) x

M

 Dados N = {xR -3x f(a), la función es creciente entre a y b, es decir un gráfica es creciente en un intervalo del Dom si, al
aumentar la variable independiente x, aumenta también la variable dependiente y.
 Si f(b) < f(a), la función es decreciente entre a y b, es decir un gráfica es decreciente en un intervalo delDom
si, al aumentar la variable independiente x, disminuye la variable dependiente y.
 Si f(a) = f(b), la función es constante entre a y b.

Ejercicio: Esta gráfica muestra las temperaturas a lo largo de un día de invierno en un pueblo del estado Mérida.
Interpreta el crecimiento y decrecimiento de esta función.
Se pregunta: ¿En qué intervalo de tiempo la temperatura
crece?
¿En quéintervalo de tiempo la temperatura decrece?
¿A qué temperatura y hora hay un cambio de condición?

SIGNO DE UNA FUNCIÓN: Signo (+) o zona positiva de una función f, es el subconjunto o intervalo (a,b) del dominio al que le corresponden imágenes positivas. En este caso, y o f(x) es positiva para todos los valores de la gráfica
que se encuentran sobre el eje X, (I y II cuadrante del plano).
Signo...