Guia De Matemática Iii

Contenidos de Matemática III – UNEFA – Apure.
Prof. Rafael Valdez
Funciones de varias variables
Sea D un conjunto de pares ordenados del campo de los números reales. Una relación f que asocia a cada pareja (x, y) de D un número real único, denotado por f(x, y), recibe el nombre de función de dos variables. El conjunto de pares ordenado (x, y) de D recibe el nombre G del domino de f, y el rangoo recorrido de f consta de todos los valores reales f(x, y).
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A manera de repaso
1.- Para cada uno de los campo escalares que se dan a continuación, halla las curvas o superficies de nivel según el caso y represéntalos gráficamente en R2 y en R3.


2.- Identificar cada superficie cuya ecuación se da a continuación y haga un bosquejo del gráfico de la misma en el espacio R3.
a) 4x2 +9y2 = 36zb) 25x2 - 225y2 + 9z2 = 225c) 16x2 - 9y2 + 36z2 = 144d) x2 - 16y2 = 4z2 e) 16x2 - 25y2 + 100z2 = 200f) y2 – 9x2 - z2 – 9 = 0g) 16y = x2 + 4z2 | h) 4y = x2 - z2 i) 8x2 + 4y2 + z2 = 16j) 4y2 – 25z2 = 100xk) 2x2 + y2 = 4l) y2 + z2 + 6z – 3y= 4m) 4x2 + 16y = z2 – 8xn) x2 + y2 + z2 = 2 | ñ) 4y2 + 9z2 = 9x2o) 4y2 + 25z2 + 100x = 0p) 16x2 + 100y2 – 25z2 =400q) 36x= 9y2 + z2 r) z2 = 16- xs) y2+ z = 12t) z = 2 cos x |

3.- Determine y represente el dominio de las siguientes funciones reales

Límites y continuidad
Definición de limite: Sea f una función definida en el interior de un circulo con centro (a, b), excepto posiblemente en (a, b) mismo. El límite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) es L, y se expresa

Si , entonces; para todo ε > 0 existe un δ > 0, tal quesiempre que

Cálculo de límites: Para el cálculo de límites de manera algebraica, es recomendable calcular primero los límites iterados
si estos resultan iguales, se sospecha la existencia del límite para f. Para asegurar la existencia del limite se recomienda el estudio del limite de f a través de rectas y = x, y = k x. y a través de curvas y = x2, y = k x2, de esta manera obtenemos el mismovalor para el limite de f, entonces podemos asegurar con cierta certeza que el valor obtenido es el límite para f cuando (x, y) tiende a (a, b). Para asegurar su existencia se debe demostrar que realmente el valor obtenido es el límite para f, a través de la definición de límite.
Para el caso de límites cuya tendencia es el punto (0, 0) las ecuaciones de las rectas y curvas a usar para su estudioson las descritas anteriormente. Para los casos de limites cuya tendencia sea un punto (a, b) distinto del origen de coordenadas, se recomienda el cálculo de los limites iterados, limites a través de rectas cuya ecuación paramétricas es x = at y y = bt, con t є R, o limites a través de curvas cuya ecuación paramétrica es x = at, y = bt2.

Condiciones de continuidad de f en un punto
Sea f(x,y) una función definida en un circulo R: x2 + y2 ≤ r2, entonces f es continua en un punto (a, b) de R, si y solamente si. Satisface las siguientes condiciones
1.- La función f está definida en (a, b) y f(a, b) existe
2.- El límite existe
3.- El valor obtenido el 1 y 2 es el mismo. Es decir que
Calcule en cada caso el límite planteado

4.- Para cada uno de los casos propuestos acontinuación discuta la continuidad de la función f

Derivadas parciales
Definición: Sea f una función de dos variables. Las primeras derivadas parciales de f con respecto de x y y son las funciones fx y fy definidas como sigue:

Siempre que los límites existan.
Podemos considerar las segundas derivadas parciales de f: fxx, fxy , fyx , fyy. Calculadas sobre la base de las primeras derivadas def, en las que las derivadas cruzadas son iguales para funciones analíticas. Es decir que fxy = fyx. Este teorema es conocido como teorema de Schwarz

Regla de la cadena: Teorema: Si w = f (u, v), u = g (x, y) y v = h (x, y) siendo f diferenciables y g y h tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces:

Derivación implícita: Sí una función f(x, y) = 0 define una función implícita...