Guia Matematicas 2 2008 Respuestas
Páginas: 15 (3717 palabras)
Publicado: 18 de marzo de 2015
MATEMÁTICA
GUÍA 2
RESPUESTAS
I. EJERCICIOS DE DESARROLLO
1. Calcular el valor numérico de las siguientes potencias:
1.1. 23 ⋅ 32 =
Primero se desarrollan las potencias y finalmente el producto:
23 ⋅ 32 = 8 ⋅ 9 = 72
1.2. 33 − 25 =
Primero se desarrollan las potencias y finalmente la diferencia:
33 − 25 = 27 – 32 = –5
1.3. 43 − 2 ⋅ 32 =
Primero se desarrollan las potencias, luego el producto yfinalmente la diferencia:
43 − 2 ⋅ 32 = 64 − 2 ⋅ 9 = 64 – 18 = 46
2. Aplicando las propiedades de las potencias, resolver:
25 ⋅ 45
=
83
En el numerador, se puede aplicar potencias de igual exponente:
2.1.
25 ⋅ 45
83
=
(2 ⋅ 4) 5
83
=
85
83
Finalmente, se aplica división de potencias de igual base:
85
8
3
Entonces:
= 8 5 −3 = 8 2 = 64.
25 ⋅ 45
83
= 64
2.2.
x3 ⋅ y
x y −2
=
Se aplicamultiplicación y división de potencias de igual base:
x3 ⋅ y
xy
2.3.
−2
a 5 ⋅ b−1
a 2 ⋅ b−4
= x 3 −1 ⋅ y 1+ 2 = x 2 y 3
=
Se aplica multiplicación y división de potencias de igual base:
a 5 ⋅ b−1
2
a ⋅b
−4
= a 5 − 2 ⋅ b −1+ 4 = a 3 ⋅ b 3
Finalmente, se aplica potencias de igual exponente:
a 3 ⋅ b 3 = (ab ) 3
Entonces:
a 5 ⋅ b−1
a 2 ⋅ b−4
= (ab ) 3
3. Resolver y expresar el resultadoen notación científica:
3.1. 0,056 : 16 =
Primero se efectúa la división:
0,056 : 16 = 0,0035
Expresando finalmente el resultado en notación científica:
0,0035 = 3,5 ⋅10 −3
Entonces: 0,056 : 16 =3,5 ⋅10 −3
3.2. 2 −3 ⋅ (2.000 ) 2 =
Transformando las potencias:
2 −3 ⋅ (2.000 ) 2 =
1
2
3
⋅ (2 ⋅ 1.000 ) 2 =
1
2
3
⋅ 2 2 ⋅ 1.000 2
1
⋅ 1.000 2 = 500.000
2
Por último, se expresa el resultado ennotación científica:
=
500.000 = 5 ⋅ 10 5
Entonces: 2 −3 ⋅ (2.000 ) 2 = 5 ⋅ 10 5
3.3.
(0,25 ) 2 ⋅ 3
=
0,00125
Resolviendo productos y cuocientes:
(0,25 ) 2 ⋅ 3
= 150
0,00125
Finalmente se expresa el resultado en notación científica:
150 = 1,5 ⋅ 10 2
Entonces:
(0,25 ) 2 ⋅ 3
= 1,5 ⋅ 10 2
0,00125
4. Resolver las siguientes raíces:
4.1. 75 =
Descomponiendo la cantidad subradical:
75 =
25 ⋅ 3=
25 ⋅ 3 = 5 3
0, 024
=
3
Resolviendo primero la operación del subradical:
4.2.
3
3
0, 024
=
3
3
0,008 =
3
1
1
=
125
5
4.3. 50 − 18 =
Primero se descomponen las raíces:
50 − 18 =
25 ⋅ 2 − 9 ⋅ 2 = 5 2 − 3 2
Reduciendo raíces semejantes:
5 2 −3 2= 2 2
Luego:
50 − 18 = 2 2
5. Aplicando las propiedades de las raíces, resolver:
3
5.1.
⎛1⎞
⎜ ⎟ =
⎝4⎠
Primero se expresa la raíz como:
33
⎛ 1⎞
⎛1⎞
⎟
⎜ ⎟ = ⎜⎜
⎟
4
⎝4⎠
⎝
⎠
Ahora se calcula la raíz cuadrada y se eleva a 3.
3
3
3
⎛ 1⎞
⎜
⎟ = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 1 = 1
⎜ 4⎟
8
23
⎝2⎠
⎝
⎠
3
Entonces:
1
⎛1⎞
⎜ ⎟ =
8
⎝4⎠
5.2. 5 3 3 3 9 =
Aplicando raíces de igual índice:
5 3 3 3 9 = 5 ⋅ 3 3 ⋅ 9 = 5 ⋅ 3 27 = 5 · 3 = 15.
Luego: 5 3 3 3 9 = 15
5.3. 41,5 =
Primero se transforma el exponente decimal a fracción:
4 1,5 = 4 3 / 2
Luego se transforma araíz
43 / 2 =
Luego: 41,5 = 8
( 4)
3
= 23 = 8
6. Racionalizar denominadores:
6.1.
3
=
5
Se amplifica la fracción por
5
:
5
3
⋅
1− 2
3
=
5
5
6.2.
5
3 5
5
=
Se amplifica la fracción por
3
:
3
1− 2
⋅
3
3
3 (1 − 2 )
=
3
=
3
3− 6
3
3
=
1+ 2
Se amplifica la fracción por el conjugado del denominador:
6.3.
3
⋅
1− 2
1+ 2 1− 2
=
3(1 − 2 ) 3 − 3 2 )
=
= −3+3 2
1− 2−1
O bien: − 3 + 3 2 = 3 2 − 3 = 3( 2 − 1)
7. Expresar como un solo término:
7.1. 82/3 ⋅ 2 =
Se expresa 8 como potencia de base 2 y la raíz se expresa como potencia:
2
1
1
82/3 ⋅ 2 = (2 3 ) 3 ⋅ 2 2 = 2 2 ⋅ 2 2
Queda así, una multiplicación de potencias de igual base:
5
1
2 2 ⋅ 2 2 = 2 2 +1/ 2 = 2 2
Este puede ser expresado como raíz:
5
22 =
2 5 = 32
Entonces: 82/3 ⋅ 2 =
⎛
7.2. ⎜⎜
⎝32
4
8 ⎞
⎟ =
2 ⎟⎠
Se expresa el 8 y la raíz de 2 como potencias de base 2:
⎛
⎜⎜
⎝
4
⎛ 23
8 ⎞
⎜
⎟⎟ = ⎜
1
2⎠
⎝ 22
⎞
⎟
⎟
⎠
4
Operando como potencias de igual base:
4
⎛ 23 ⎞
⎜
⎟ = ⎛⎜ 2 3 − 21
1 ⎟
⎜
⎜
⎝
⎝ 22 ⎠
4
4
⎞
⎟ = ⎛⎜ 2 5 / 2 ⎞⎟
⎟
⎝
⎠
⎠
Se expresa la raíz como potencia:
4
4
⎛ 2 5 / 2 ⎞ = ⎛⎜ (2) 52 ⎞⎟ 2 = 25 = 32
⎜
⎟
⎠
⎝
⎝
⎠
⎛
Entonces: ⎜⎜
⎝
4
8 ⎞
⎟ = 32
2 ⎟⎠
3 10
⋅ 25
3
=
4⋅...
GUÍA 2
RESPUESTAS
I. EJERCICIOS DE DESARROLLO
1. Calcular el valor numérico de las siguientes potencias:
1.1. 23 ⋅ 32 =
Primero se desarrollan las potencias y finalmente el producto:
23 ⋅ 32 = 8 ⋅ 9 = 72
1.2. 33 − 25 =
Primero se desarrollan las potencias y finalmente la diferencia:
33 − 25 = 27 – 32 = –5
1.3. 43 − 2 ⋅ 32 =
Primero se desarrollan las potencias, luego el producto yfinalmente la diferencia:
43 − 2 ⋅ 32 = 64 − 2 ⋅ 9 = 64 – 18 = 46
2. Aplicando las propiedades de las potencias, resolver:
25 ⋅ 45
=
83
En el numerador, se puede aplicar potencias de igual exponente:
2.1.
25 ⋅ 45
83
=
(2 ⋅ 4) 5
83
=
85
83
Finalmente, se aplica división de potencias de igual base:
85
8
3
Entonces:
= 8 5 −3 = 8 2 = 64.
25 ⋅ 45
83
= 64
2.2.
x3 ⋅ y
x y −2
=
Se aplicamultiplicación y división de potencias de igual base:
x3 ⋅ y
xy
2.3.
−2
a 5 ⋅ b−1
a 2 ⋅ b−4
= x 3 −1 ⋅ y 1+ 2 = x 2 y 3
=
Se aplica multiplicación y división de potencias de igual base:
a 5 ⋅ b−1
2
a ⋅b
−4
= a 5 − 2 ⋅ b −1+ 4 = a 3 ⋅ b 3
Finalmente, se aplica potencias de igual exponente:
a 3 ⋅ b 3 = (ab ) 3
Entonces:
a 5 ⋅ b−1
a 2 ⋅ b−4
= (ab ) 3
3. Resolver y expresar el resultadoen notación científica:
3.1. 0,056 : 16 =
Primero se efectúa la división:
0,056 : 16 = 0,0035
Expresando finalmente el resultado en notación científica:
0,0035 = 3,5 ⋅10 −3
Entonces: 0,056 : 16 =3,5 ⋅10 −3
3.2. 2 −3 ⋅ (2.000 ) 2 =
Transformando las potencias:
2 −3 ⋅ (2.000 ) 2 =
1
2
3
⋅ (2 ⋅ 1.000 ) 2 =
1
2
3
⋅ 2 2 ⋅ 1.000 2
1
⋅ 1.000 2 = 500.000
2
Por último, se expresa el resultado ennotación científica:
=
500.000 = 5 ⋅ 10 5
Entonces: 2 −3 ⋅ (2.000 ) 2 = 5 ⋅ 10 5
3.3.
(0,25 ) 2 ⋅ 3
=
0,00125
Resolviendo productos y cuocientes:
(0,25 ) 2 ⋅ 3
= 150
0,00125
Finalmente se expresa el resultado en notación científica:
150 = 1,5 ⋅ 10 2
Entonces:
(0,25 ) 2 ⋅ 3
= 1,5 ⋅ 10 2
0,00125
4. Resolver las siguientes raíces:
4.1. 75 =
Descomponiendo la cantidad subradical:
75 =
25 ⋅ 3=
25 ⋅ 3 = 5 3
0, 024
=
3
Resolviendo primero la operación del subradical:
4.2.
3
3
0, 024
=
3
3
0,008 =
3
1
1
=
125
5
4.3. 50 − 18 =
Primero se descomponen las raíces:
50 − 18 =
25 ⋅ 2 − 9 ⋅ 2 = 5 2 − 3 2
Reduciendo raíces semejantes:
5 2 −3 2= 2 2
Luego:
50 − 18 = 2 2
5. Aplicando las propiedades de las raíces, resolver:
3
5.1.
⎛1⎞
⎜ ⎟ =
⎝4⎠
Primero se expresa la raíz como:
33
⎛ 1⎞
⎛1⎞
⎟
⎜ ⎟ = ⎜⎜
⎟
4
⎝4⎠
⎝
⎠
Ahora se calcula la raíz cuadrada y se eleva a 3.
3
3
3
⎛ 1⎞
⎜
⎟ = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 1 = 1
⎜ 4⎟
8
23
⎝2⎠
⎝
⎠
3
Entonces:
1
⎛1⎞
⎜ ⎟ =
8
⎝4⎠
5.2. 5 3 3 3 9 =
Aplicando raíces de igual índice:
5 3 3 3 9 = 5 ⋅ 3 3 ⋅ 9 = 5 ⋅ 3 27 = 5 · 3 = 15.
Luego: 5 3 3 3 9 = 15
5.3. 41,5 =
Primero se transforma el exponente decimal a fracción:
4 1,5 = 4 3 / 2
Luego se transforma araíz
43 / 2 =
Luego: 41,5 = 8
( 4)
3
= 23 = 8
6. Racionalizar denominadores:
6.1.
3
=
5
Se amplifica la fracción por
5
:
5
3
⋅
1− 2
3
=
5
5
6.2.
5
3 5
5
=
Se amplifica la fracción por
3
:
3
1− 2
⋅
3
3
3 (1 − 2 )
=
3
=
3
3− 6
3
3
=
1+ 2
Se amplifica la fracción por el conjugado del denominador:
6.3.
3
⋅
1− 2
1+ 2 1− 2
=
3(1 − 2 ) 3 − 3 2 )
=
= −3+3 2
1− 2−1
O bien: − 3 + 3 2 = 3 2 − 3 = 3( 2 − 1)
7. Expresar como un solo término:
7.1. 82/3 ⋅ 2 =
Se expresa 8 como potencia de base 2 y la raíz se expresa como potencia:
2
1
1
82/3 ⋅ 2 = (2 3 ) 3 ⋅ 2 2 = 2 2 ⋅ 2 2
Queda así, una multiplicación de potencias de igual base:
5
1
2 2 ⋅ 2 2 = 2 2 +1/ 2 = 2 2
Este puede ser expresado como raíz:
5
22 =
2 5 = 32
Entonces: 82/3 ⋅ 2 =
⎛
7.2. ⎜⎜
⎝32
4
8 ⎞
⎟ =
2 ⎟⎠
Se expresa el 8 y la raíz de 2 como potencias de base 2:
⎛
⎜⎜
⎝
4
⎛ 23
8 ⎞
⎜
⎟⎟ = ⎜
1
2⎠
⎝ 22
⎞
⎟
⎟
⎠
4
Operando como potencias de igual base:
4
⎛ 23 ⎞
⎜
⎟ = ⎛⎜ 2 3 − 21
1 ⎟
⎜
⎜
⎝
⎝ 22 ⎠
4
4
⎞
⎟ = ⎛⎜ 2 5 / 2 ⎞⎟
⎟
⎝
⎠
⎠
Se expresa la raíz como potencia:
4
4
⎛ 2 5 / 2 ⎞ = ⎛⎜ (2) 52 ⎞⎟ 2 = 25 = 32
⎜
⎟
⎠
⎝
⎝
⎠
⎛
Entonces: ⎜⎜
⎝
4
8 ⎞
⎟ = 32
2 ⎟⎠
3 10
⋅ 25
3
=
4⋅...
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