Guia Matematicas 5 2008 Respuestas

MATEMÁTICA
GUÍA 5
RESPUESTAS
I.

EJERCICIOS DE DESARROLLO

Pregunta 1
En la figura, rectas L1 , L2 y L3 son paralelas entre sí. L4 y L5 son transversales.
L4
A

L1
γ

L5
95

β

R

L2

1.1. Calcule α

L3

α
35 P

El ángulo α es correspondiente con el ángulo A, que mide:
180 – 95 = 85º.
Como ángulos correspondientes son congruentes, entonces α = 85º.
1.2. Calcule β
Para calcular β se considera eltriángulo PQR. El ángulo en P es 35º, en Q es 85º. Por lo tanto:
β = 180º - (35º + 85º) = 60º.

1.3. Calcule γ
El ángulo obtuso entre L3 y L5 mide: 180º – 35º = 145º.
Como ángulo γ es correspondiente con este, entonces, son congruentes:
γ = 145º.

Q

Pregunta 2
En la figura, ABC triángulo rectángulo en C.
AD = bisectriz; DE//AC; ∠ ABC = 38º.

C
D

38º

2.1. Calcule ∠ BAC
Como el ángulo en C es de90º, en B es de 38º, entonces:

A

E

∠ BAC = 180º – (90 + 38) = 52º.

2.2. Calcule ∠ AED
Por ser DE//AC, el ángulo BED = ∠ BAC = 52º. Entonces:
∠ AED = 180 – 52º = 128º.

2.3. Calcule ∠ ADE
Como AD es bisectriz, ∠ EAD =
Entonces:

52º
= 26º
2

∠ ADE = 180 – (128 + 26) = 26º
D

Pregunta 3
En la figura, ABCDE es polígono regular.
E

C
O

3.1. Calcule ∠ EOD
A
Se trazan líneas de segmentosauxiliares.
El ∠ EOD es uno de los 5 ángulos del centro, todos iguales:
∠EOD =

B

360 º
= 72º
5

3.2. Calcule ∠ OAB
Para calcular ∠ OAB hay que considerar que el triángulo OAB es isósceles de base AB y, por lo
tanto ∠ OAB = ∠ ABO
Entonces: ∠OAB =

180 º −72º
= 54º
2

3.3. Calcule la suma de ángulos internos.
Cada ángulo interno mide: 2 ⋅ 54º = 108º
Como hay 5 ángulos internos, su suma es: 5 ⋅ 108º = 540 ºEn general, la suma de los ángulos de un polígono de n lados es: 180 ⋅ ( n − 2)

En este caso:

Suma = 180 ⋅ (5 − 2) = 180 ⋅ 3 = 540º.

B

Pregunta 4
C

En la figura, ABC triángulo. Con los valores dados:

8
5

A

4.1. Calcule CD

3

D

B

CD es uno de los catetos del triángulo ADC, rectángulo en D. Es aplicable, entonces, el teorema de
Pitágoras:
CD 2 = 5 2 − 3 2
CD 2 = 16
CD = 4

4.2. CalculeDB

DB es uno de los catetos del triángulo BCD, rectángulo en D. Por el teorema de Pitágoras:
DB 2 = 8 2 − 4 2
DB 2 = 48
DB =

48

4.3. ¿Es ABC triángulo rectángulo?

Si ABC es rectángulo en C, se debe cumplir el teorema de Pitágoras. Esto es:
5 2 + 8 2 = ( 3 + 48 ) 2
25 + 64 = 9 + 6 48 + 48

89 ≠ 57 + 6 48

Como se comprobó, no se cumple el teorema de Pitágoras. Entonces, ABC NO ES rectángulo.E

Pregunta 5
En la figura, ADE triángulo, y CF//BG//DE.

F
G
x

5

1

5.1. Calcule CF, si CD = 2,4
Como los triángulos son todos semejantes,
sus lados son proporcionales.
Entonces:
5
x
=
12 AC

Pero AC = 12 – 2,4 = 9,6.
Entonces:
5
x
=
12 9,6
5 ⋅ 9,6
x=
= 4.
12
CF = 4.
5.2. Calcule AB, si GB = 1
Se puede plantear la proporción:
5
1
=
12 AB
12 ⋅ 1
AB =
= 2,4
5
5.3. Calcule AF
Se puede calcularprimero AE. Por Pitágoras:
AE 2 = 5 2 + 12 2
AE 2 = 25 + 144
AE 2 = 169

/

AE = 13
Ahora se plantea la proporción:
5
x
=
; pero x = 4.
13 AF
Entonces:
5
4
=
13 AF

Despejando AF:
13 ⋅ 4
5
AF = 10,4

AF =

A

B

C
12

D

Pregunta 6
En la figura, a // b // c // d, L1 y L2 , secantes.

L1

A

a

B

b

c
d
6.1. Calcule PQ
Aplicando el teorema de Thales, se puede plantear la
proporción:
PQ
3
=
10 15Despejando PQ:
15 ⋅ 3
10
PQ = 4,5
PQ =

6.2. Calcule CD
Aplicando el teorema de Thales, se plantea la proporción:

CD
3
=
4
4,5
3 ⋅ 4 12
CD =
=
= 2, 6
4,5 4,5
6.3. Calcule BD

Ya que AD = 10 y AB = 3; entonces, BD = AD – AB = 10 – 3 = 7

C
D

L2

P
Q

4

R
S

Pregunta 7
En la figura, rectas L1 , L2 y L3 son paralelas entre sí. L4 y L5 son rectas transversales.
Con los valores de la figura:
L

L5

4P
x
A

L1

6
B

L2

7.1. Calcule x
Aplicando Thales:

x
2
=
x + 6 10
10 x = 2 x + 12
8 x = 12
12
x=
= 1,5
8
7.2. Calcule CF
Aplicando Thales:

AP AD
=
PC CF
1,5
2
=
9 CF
1,5CF = 18
CF =

18
= 12
1,5

7.3. Calcule PD
Aplicando Thales:

AP PD
=
AB DE
1,5 PD
=
6
8
6 PD = 1,5 ⋅ 8
6 PD = 12
12
PD =
=2
6

L3

C

D
2
10

8
E
F

Pregunta 8
8. En la figura, PQR es triángulo rectángulo en R y h es...