Guia Matematicas 7 2008 Respuestas

MATEMÁTICA
GUÍA DE EJERCITACIÓN 7
RESPUESTAS

I.

EJERCICIOS DE DESARROLLO

1. Dado el punto P en el plano, de coordenadas P(–3, 5):
1.1. Calcule sus nuevas coordenadas si se le aplica una traslación de vector (–2, 1)
El vector de traslación expresa un movimiento en el sentido negativo de 2 unidades en el eje x y de
4 unidades positivas en el eje y.
Sumando las respectivas componentes: (-3 + -2;5 + 1) = (-5, 6)
Respuesta: La traslación (-2,1) deja al punto en las coordenadas (–5, 6).
1.2. ¿Qué traslación se le debe aplicar a P para que quede ubicado en las coordenadas (5, –
2)?
Deben sumarse 8 unidades a la coordenada –3 para que quede en 5. A la coordenada 5 se le
debe sumar –7 para que quede en –2. Por lo tanto, el vector de traslación es (8, –7)
Respuesta: Para dejar al punto P en lascoordenadas (5, -2) se le debe aplicar una traslación de
vector (8, -7)

2. Indique los ejes de simetría de las siguientes figuras:
2.1 Rectángulo:
Tiene 2 ejes de simetría.

e2

e1

2.2 Cuadrado:
Tiene 4 ejes de simetría
e4
e3

e2
e1

2.3 Rombo:
No tiene ejes de simetría
2.4 Pentágono regular:
Ttiene 5 ejes de simetría
e5
e4
e3
e1

e2

3. Dado el punto P de coordenadas (4, –3):
3.1. Indique lascoordenadas de su simétrico respecto del eje x.
3.2. Indique las coordenadas de su simétrico respecto del eje y.
Trazando la gráfica de la situación, se tiene P’ y P’’ como los simétricos de P respecto del eje x e y,
respectivamente.
y

(-4, 3)

3

-4

P’’

P’

4
-3

x

P

3.1. P’ es el simétrico de P respecto del eje x, y se ubica en (4, 3).
Respuesta: El punto simétrico de (4, -3) respecto deleje x es (4, 3)

3.2. P’’ es el simétrico de P respecto del eje y, y se ubica en el punto (-4, -3).
Respuesta: El punto simétrico de (4, -3) respecto del eje y es (-4, -3)

4. Dado el punto P de coordenadas (3, 4):
4.1. Indique las nuevas coordenadas si a P se le realiza una rotación en el sentido horario de
90º con centro en el origen.
Trazando un gráfico del punto original P y de la rotaciónespecificada, se da origen al punto P’, de
coordenadas (4, -3).

Respuesta: Las coordenada del punto después de la rotación es (4, -3).

4.2. Indique las nuevas coordenadas si a P se le realiza una rotación en el sentido
antihorario de 90º con centro en el punto (2, 1).

Trazando un gráfico del punto original P y de la rotación especificada, se da origen al punto P’, de
coordenadas (-1, 2).Respuesta: Las coordenadas del punto después de la rotación es (-1, 2).

y

5. En la figura, se tiene un cuadrado en el plano xy, de lado 3, con
vértice en el origen.

3

5.1. ¿Qué se forma al aplicarle un vector de traslación (5, 0, 0)?
Con la traslación del cuadrado en el eje x se forma un rectángulo de 3 por
8. Ver figura.

(3, 3)

x
3

z

y
3

(3, 8)
5
x
3

8

z

Respuesta: Se forma un rectángulo enel plano xy, de 3 por 8.
5.2. ¿Qué se forma al aplicarle un vector de traslación (0, 0, 8)?
Con la traslación del cuadrado en el eje z, se forma un paralelepípedo de base cuadrada de lado 3
y altura 5. Ver figura.
y
3

(3, 3)

x
3
5
z

Respuesta: Se forma un paralelepípedo en el espacio xyz, de base cuadrada de lado 3 y altura 5

6. En la figura, ABCD es un rectángulo en el plano.
y
10
2
x
1

76.1. Calcule el volumen generado por una rotación de 180º respecto de su eje de simetría
horizontal.
La rotación en 180º de un rectángulo sobre su eje de simetría genera un cilindro. En este caso,
un cilindro paralelo al eje x, de radio r = 4 y altura h = 6.
El volumen del cilindro es:
y

V = πr 2 h
V = π ⋅ 4 2 ⋅ 6 = 96π

10
2
x
1

7

Respuesta: Se genera un cilindro de radio 4 y altura 6, cuyovolumen es 96π .
6.2. Calcule el volumen generado por una rotación de 360º respecto del eje y.
Una rotación del rectángulo en torno del eje y genera un anillo, como lo muestra la figura.
El volumen de este anillo es igual al volumen de un cilindro de radio 7 y altura 8, menos un cilindro
de radio 1 y altura 8. Ver figura.
y

V = π ⋅ 7 ⋅ 8 - π ⋅1 ⋅ 8 = 392π - 8π = 384π
2

2

Respuesta: el volumen...