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UNIDAD 13. CÁLCULO DIFERENCIAL



13.1 Funciones y límites.

Sección: Funciones

Las funciones podemos determinarlas como:

La gráfica que es cortada una sola vez por cada vertical trazada sobre la curva.
El conjunto de pares ordenados (x, y), en donde x nunca se repite
La relación en donde a cada elemento de un conjunto llamado dominio le asignamos un y solamente unelemento de otro conjunto llamado contradominio.


Ejercicio 1

1. Encuentre el inciso que tenga las afirmaciones falsas.

I.- Todas las funciones son relaciones.
II.- Una función es una regla de correspondencia que asocia un elemento del dominio con sólo un elemento en el rango.
III.- Una relación es una regla de correspondencia que asocia un elemento del dominio con uno o más elementosdel rango.
IV.- Las funciones son un subconjunto de las relaciones.
V.- Todas las relaciones son funciones.

a) I y V b) II y IV c) III y V d) V y IV e) II y V


2. De las siguientes gráficas, ¿cuál representa una función?











3. De las siguientes gráficas, ¿cuál representa una función?





4. De las siguientes gráficas, ¿cuál representa una función?





5.De los siguientes conjuntos de puntos, cuál no representa una función
1. {(3,4), (4,5), (5,6), (6,7)} 2. {(1,1), (2,2), (3,8), (4,9)} 3. {(7,8), (9,10), (11,12), (7,14)}
a) Sólo 1 b) 2 y 3 c) 1, 2 y 3 d) 1 y 3 e) sólo 3

6. De las siguientes relaciones indica cuáles son funciones:
a. y = 8x2-1
b.
c. R = (1,2), (2,5), (3,13)
d.

e.

a) Sólo b b) b y c c) a, c y e d) b y c e)a, d y e



Sección: Valor de una función.
Sólo sustituiremos el valor de x en la ecuación y simplificar.

7. Considera f (x) = l x l – x, evalúa f (– 7):
a) 14 b) –7 c) 7 d) 0 e) –14

8. Considera Evalúa f(2)
a) 12 b) 2 c) –1 d) 1 e) –1, 2 y 12

9. Si f(x) = 3x2 + 5x - 10, encuentre f(x+3)
a) 3x2 + 23x + 32 b) 3x2 + 5x +3 c) x2 + 3x +3 d) x2 + 5x – 10 e) 3x2 + 5x – 10Sección: Dominio de una función.
El dominio de una función son los reales  = (– , ), excepto tres casos especiales, de los cuales en este curso sólo se analizarán dos.

1) Cuando la función tiene alguna “x” en el denominador
Por ejemplo, en lo primero que tenemos que hacer es igualar a cero el denominador y encontrar los valores no permitidos. x – 8 = 0; → x = 8; por lo que:
Df(x) =  -8 =(– , 8)  (8, ) = x / x 8

2) Cuando la función tiene alguna “x” dentro de una raíz de índice par. Por ejemplo:

Encontrar el dominio de
Primero plantemos una desigualdad o inecuación: D ≥ 0 y resolvemos
3x – 21 ≥ 0
3x ≥ 21
x ≥ 21/3
x ≥ 7
Los valores encontrados se representan con un intervalo mixto. Solución Df = [7, ). Sólo cuando la raízse encuentra en el denominador la desigualdad a resolver es D > 0 y el intervalo resulta abierto


10. El dominio de la función xy = 1 es:
a) [0,) b) (– , 0]  [0,  ) c) (– , 1)  (1, ) d) (– , 0)  (0, ) e) (– , 0)

11. El dominio de la función es:
a) [0,) b) (– ,0)  (0,) c) (– ,1)  (1,) d) (– ,–1)  (–1,) e) (– ,)

12. El dominio de la función y = x2 es:
a) (–, ) b) (– , 0)  (0, ) c) (– , 0) d) (– , 0 ] e) [0, )

13. En la extensión de la curva , el intervalo de variación de x es:
a) [– 2,0] b) (0,2] c) [0,2) d) (– 2,2) e) [– 2,2]

14. En la extensión de la curva , el intervalo de variación de x es:
a) [– 3,3] b) (0,3] c) [0,3) d) (– 3,3) e) [– 3,0]




15. En la extensión de la curva . El intervalo de variación de x es:a) [– 4, 0] b) (0, 4) c) [0, 4) d) (– 4, 4) e) [– 4, 4]

16. El dominio de la función
a) (– , ) b) (– , 5) c) (– , – 5)  (– 5, ) d) (5, ) e) 0, )

17. El dominio de la función
a) – 6 < x < 6 b) x   c) - 6, – 6 d) (– , ) e) x ≠ 6

18. El dominio de la función
a) – 5 < x < 5 b) x   c) - 5 d) (– , ) e) x ≠ 5, x ≠ – 5

19. El dominio de la función
a)...