Guia

Ángulos en la Circunferencia y Teoremas Nombre Alumno o Alumna: Definiciones Circunferencia: Dado un punto O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto de todos los puntos del plano que están a la distancia r del punto O. Radio: Trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de ésta (OC ). Cuerda: Trazo cuyos extremos son dos puntos de unacircunferencia (DE). Diámetro: Cuerda que contiene al centro de la circunferencia (BC ). Secante: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ). Tangente: Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto (TM). T punto de tangencia. Arco: Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de ella (CE). Curso:

Ángulo Del Centro: Es todo ángulo interior cuyovértice es el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la misma ( ∠ DOE).

Ángulo Inscrito: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de ésta ( ∠ GHF).

Ejemplo 1. ¿Cuál(es) de las siguiente(s) opción(es) es falsa? A) El diámetro de una circunferencia es el doble que la de su radio B) La mayor cuerda de una circunferencia es eldiámetro C) En circunferencias congruentes los radios son congruentes D) Al cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del centro E) Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia

1

MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que subtiende dicho arco.

arco DE= ∠ DOE= αTEOREMA Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.

Ejemplos 1. En la circunferencia de centro O (fig. 1), AB es diámetro. Entonces, el valor de α es A) 10º B) 20º C) 40º Fig. 1 D) 80º E) 140º

2. En la circunferencia de centro O (figura 2), se cumple que BA ≅ DC y AED + BC = 3 AB. Entonces, la medida del ∠ x es A) 45ºB) 60º C) 72º Fig. 2 D) 84º E) 90º

2

TEOREMA Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual medida

TEOREMA Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. O: centro de la circunferencia

∠ ACB= 90º

O: Centro de la circunferencia

Ejemplos 1. En el cuadrilátero inscrito en la circunferencia de la figura 1, α - β = 120º. Si γ =¿cuánto mide el ángulo x? A) 30º B) 75º Fig. 1 C) 105º D) 150º E) 155º

2. En la circunferencia de centro O de la figura 2, AB es diámetro y CA ≅ BD. Si CA= 3m + 10 y el ∠ ADC = 3m - 10, entonces ∠ x + ∠ y = A) 170º B) 160º C) 150º Fig. 2 D) 140º E) 120º

3

TEOREMA Si un radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda, entonces la dimidia y viceversa.

OD ⊥ AB ⇒ AC ≅ CBTEOREMA Si un radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda, entonces dimidia al arco que subtiende la cuerda y viceversa.

OD ⊥ AB ⇒ AD ≅ DB
Ejemplos 1. En la circunferencia de centro O de la figura 1, OD ⊥ AB. Si AC = 4 cm, OC = DC = A) B) C) D) E)

3 BC y 4

1 BC, entonces OD mide 2
Fig. 1

2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 10 cm

2. En la circunferencia de centro O de la figura 2, AD =DC. Si entonces α mide A) 18º B) 36º C) 54º D) 72º E) No se puede determinar

∠ CBD = 4α y ∠ DCB = α,

Fig. 2

4

TEOREMA La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

TEOREMA Los segmentos tangentes trazados desde un punto a una circunferencia, son congruentes.

Ejemplos 1. En la figura 1, PT es tangente a la circunferencia de centro O y OTes radio. Si OP = 10 y OT = 5, entonces PT = A) B) C)

15 5 3 5 5
Fig. 1

D) 15 E) 20 2. En la figura 2, PQ y PR son tangentes a la circunferencia de centro O, en Q y R respectivamente. Si ∠ PQR = 6 t – 2 y ∠ PRQ = 4t + 22, entonces la medida del ángulo QPR es: A) 12º B) 40º Fig. 2 C) 70º D) Otro valor E) No se puede determinar

3.

En la figura 3, DE es tangente a la circunferencia...