GUIA

M´todos Matem´ticos 2
e
a
Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
L. A. N´ nez*
u˜
Centro de Astrof´sica Te´rica,
ı
o
Departamento de F´sica, Facultad de Ciencias,
ı
Universidad de Los Andes, M´rida 5101, Venezuela
e
y
Centro Nacional de C´lculo Cient´
a
ıfico
Universidad de Los Andes (CeCalCULA),
Corporaci´n Parque Tecnol´gico de M´rida,
o
o
e
M´rida 5101, Venezuela
eM´rida, Octubre 2001 Versi´n α1.0
e
o

´
Indice
1. Definiciones para comenzar

1

2. Homog´neas, Lineales, de Segundo Orden
e

2

3. Ecuaciones Diferenciales de Orden n

6

4. Algunos M´todos de Soluci´n
e
o
4.1. El Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. M´todos de los Coeficientes Indeterminados
e
4.3. M´todos de Variaci´n de los Par´metros .
e
o
a
4.4. M´todosde Reducci´n de Orden . . . . . .
e
o

1.

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Definiciones para comenzar

Definici´n
o
La ecuaci´n diferencial
oa0 (x) y(x) + a1 (x) y (x) + · · · + an−1 (x) y (n−1) (x) + an (x) y (n) (x) = F(x)
*

e-mail: nunez@ula.ve

1

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9
9
10
11
14

o equivalentemente,

n

ai (x) y (i) (x) = F(x)
i=o

es lineal de orden n . Obviamente,
F(x) = 0
=⇒ Homog´nea
e
F(x) = 0
=⇒ InHomog´nea
e
ai (x) = ai = ctes
Definici´n
o
Silos coeficientes ai = ctes entonces la ecuaci´n diferencial lineal y homog´nea, de orden n , tiene
o
e
asociada un polinomio caracter´
ıstico de la forma
an rn + an−1 rn−1 + · · · + a2 r2 + a1 r + a0 = 0
Las ra´
ıces de este polinomio indicar´n la forma de la soluci´n.
a
o
Definici´n
o
Si el polinomio caracter´
ıstico puede factorizarse
(r − m1 )k1 (r − m2 )k2 (r − m3 )k3 · · · (r − ml)kl = 0
entonces diremos que las ra´ mk1 , mk2 , mk3 , · · · , mkl tienen multiplicidades k1 , k2 , k3 , · · · , kl , respecıces
tivamente.

2.

Homog´neas, Lineales, de Segundo Orden
e
La ecuaci´n
o
a y +b y +c y =0

tiene asociada el polinomio caracter´
ıstico
a r2 + b r + c = 0
y sus ra´
ıces m1 y m2 condicionan la soluci´n de la manera siguiente
o
1. Si m1 = m2 y m1 y m2 sonreales, entonces la soluci´n es
o
y = C1 em1 x + C2 em2 x
2. Si m1 = m2 y m1 y m2 son reales, entonces la soluci´n es
o
y = C1 em1 x + C2 xem1 x
3. Si m1 = α + iβ con β = 0 y m2 = m1 = α − iβ, entonces la soluci´n es
o
y = eα x (C1 cos βx + C2 sen βx)
2

Ejemplos
La ecuaci´n
o
y + 3y − 4y = 0;

y(0) = 1

∧

y (0) = −1

tiene como polinomio caracter´
ıstico
r2 + 3r − 4 = (r+ 4)(r − 1) = 0
y por lo tanto tiene como soluci´n general
o
y(x) = C1 e−4x + C2 ex
y como soluci´n particular
o

2
3
y(x) = e−4x + ex
5
5

3
y(x) = 2 e−4x + 5 ex
5

De igual modo, para distintos valores de C1 = {−1, 0, 1} y C2 = {−1, 0, 1} tendremos las siguientes
gr´ficas
a

3

y(x) = C1 e−4x + C2 ex para C1 = {−1, 0, 1} y C2 = {−1, 0, 1}
¿Cu´les son las condicionesiniciales a las cuales corresponden esos valores de las constantes?
a
La ecuaci´n
o
y + 2y + y = 0;
y(0) = 1 ∧ y (0) = −1
tiene como polinomio caracter´
ıstico
r2 + 2r + 1 = (r + 1)2 = 0
y por lo tanto tiene como soluci´n general
o
y(x) = C1 e−x + C2 xe−x
y como soluci´n particular
o
y(x) = e−x
La gr´fica ser´ la figura
a
a

4

y(x) = e−x
por su parte, para distintos valores de C1= {−1, 0, 1} y C2 = {−1, 0, 1} tendremos las siguientes
gr´ficas
a

y(x) = C1 e−x + C2 xe−x para C1 = {−1, 0, 1} y C2 = {−1, 0, 1}
¿Cu´les son las condiciones iniciales a las cuales corresponden esos valores de las constantes?
a
Finalmente, la ecuaci´n
o
y + 4y + 20y = 0;

y(0) = 3

∧

y (0) = −1

tiene como polinomio caracter´
ıstico
r2 + 4r + 20 = (r + 2)2 + 16 = 0
con las...