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Capítulo 6

Diseños factoriales con tres
factores
Supongamos que hay a niveles para el factor A, b niveles del factor B y c niveles para
el factor C y que cada réplica del experimento contiene todas las posibles combinaciones
de tratamientos, es decir contiene los abc tratamientos posibles.

6.1.

El modelo sin replicación
El modelo estadístico para este diseño es:
yijk = µ + τ i + βj + γ k + (τ β)ij + (τ γ)ik + (βγ)jk + (τ βγ)ijk + uijk
con i = 1, 2, · · · , a ; j = 1, 2, · · · , b ; k = 1, 2, · · · , c

donde

τ i , β j y γ k : Son los efectos producidos por el nivel i-ésimo del factor A, (
por el nivel j-ésimo del factor B,
( k γ k = 0), respectivamente.

j

i τi

= 0),

β j = 0 y por el nivel k-ésimo del factor C,

(τ β)ij , (τ γ)ik , (βγ)jk y (τ βγ)ijk :Son los efectos producidos por las interacciones
entre A × B, A × C, B × C y A × B × C, respectivamente
(τ β)ij =
i

(τ β)ij =
j

=

(τ γ)ik =
i

(τ βγ)ijk =
j

(τ βγ)ijk = 0
k

1

(βγ)jk =
j

k

(τ βγ)ijk =
i

(τ γ)ik =

(βγ)jk =
k

2

Diseños factoriales con tres factores

Supondremos que se toma una observación por cada combinación de factores, portanto, hay un total de n = abc observaciones.
Parámetros a estimar:
Parámetros
µ
τi
βj
γk
(τ β)ij
(τ γ)ik
(βγ)jk
(τ βγ)ijk
σ2
Total

6.1.1.

Número
1
a−1
b−1
c−1
(a − 1)(b − 1)
(a − 1)(c − 1)
(b − 1)(c − 1)
(a − 1)(b − 1)(c − 1)
1
abc + 1

A pesar de las restricciones impuestas
al modelo, el número de parámetros
(abc + 1) supera al número de obsevaciones
(abc). Por lotanto, algún parámetro no será
estimable.

Estimación de los parámetros del modelo
Los estimadores máximo verosímiles de los parámetros del modelo son

El E.M.V. de µ es µ = y...
¯
Los E.M.V. de los efectos principales son:
τ i = yi.. − y... ; β j = y.j. − y... ; γ k = y..k − y...
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Los E.M.V. de las interacciones de segundo orden son: τ β
(τ γ)ik = y i.k − yi.. − y...k +y...
¯
¯
¯

;

βγ

jk

ij

= y ij. − yi.. − y.j. + y...
¯
¯
¯

= y.jk − y.j. − y...k + y...
¯
¯
¯

El E.M.V. de la interacción de tercer orden
τ βγ

ijk

= yijk − µ − τ i − β j − γ k − τ β

ij

− (τ γ)ik − βγ

jk

=

= yijk − y ij. − yi.k − y.jk + yi.. + y.j. + y..k − y...
¯
¯
¯
¯
¯
¯

6.1.2.

Descomposición de la variabilidad
En este modelo lavariabilidad total se descompone en:

SCT = SCA + SCB + SCC + SC(AB) + SC(AC) + SC(BC) + SC(ABC) + SCR

6.1 El modelo sin replicación

3

Estas sumas de cuadrados se pueden expresar como:
SCT =

2
i,j,k yijk

SCB =

j

2
− y... /(abc)

;

2
i yi..

SCA =

2
2
y.j. /(ac) − y... /(abc)

;

SCC =

2
/bc − y... /(abc)
2
k y..k

2
/(ab) − y... /(abc)

2
2
yij./c− y... /(abc)−SCA−SCB: S. C. de la interacción A×B

SC(AB) =

i,j

SC(AC) =

2
i,k yi.k

2
/b− y... /(abc)−SCA−SCC: S. C. de la interacción A×C

SC(BC) =

2
j,k y.jk

2
/a− y... /(abc)−SCB−SCC: S. C. de la interacción B×C

SC(ABC) =

2
i,j,k yijk −

2
y... /(abc) − SCA − SCB − SCC − SC(AB) − SC(AC)−

−SC(BC): S. C. de la interacción A × B × C
Al tratarse de unmodelo sin replicación, los contrastes sólo se pueden realizar si se
supone que la interacción de tercer orden es cero. En esta hipótesis, CM(ABC) = CMR
y los contrastes de cada uno de los factores e interacciones comparan su cuadrado medio
correspondiente con la varianza residual para construir el estadístico de contraste.
El objetivo del análisis es realizar los contrastes de hipótesis nula quese muestran a
continuación junto con el estadístico de contraste correspondiente:
i) H0A ≡ τ 1 = · · · = τ a = 0 : FA =

CMA
CM R

H0A

F(a−1),(a−1)(b−1)(c−1)

ii) H0B ≡ β 1 = · · · = β b = 0 : FB =

CMB
CMR

H0B

F(b−1),(a−1)(b−1)(c−1)

iii) H0C ≡ γ 1 = · · · = γ c = 0 : FC =

CMC
CMR

H0C

F(c−1),(a−1)(b−1)(c−1)

iv) H0(AB) ≡ (τ β)ij = 0, ∀i, j : F(AB) =

CM (AB)...