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FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

TEMA: ANTIDERIVADAS E INTEGRAL INDEFINIDA
1. DESARROLLO DE CONTENIDOS
Concepto de antiderivada:
Una pregunta inicial para hacerse. ¿ Cuál es una función F(x) , que al haber sido
derivada se obtuvo f ( x)  2 x ?.
La repuesta es:
F ( x)  x 2 .
Una nueva pregunta. ¿Es la única función?, ¿existen otras funciones?, cuales?
La respuesta es:
No es laúnica, observe que existen funciones tales como:
3
F ( x)  x 2 
2
2
F ( x)  x  5 , o F ( x)  x  2 , o
2 , en general, esto quiere decir que a
2
la función F ( x )  x , se le puede sumar cualquier constante. Entonces podemos
expresar lo siguiente. La antiderivada (también llamada primitiva) de f ( x)  2 x es
2
una función de la forma F ( x )  x  c , donde c es una constante ya que laderivada de ella es siempre cero.
La integral Indefinida:

Como vimos la Antiderivada de

F ( x)  2 x , es la función f ( x )  x 2  c , ya

que al derivar f (x) , obtenemos
siguiente forma:

F (x) . Esto lo podemos denotar de la

2
2
xdx

x
c


En forma general hablamos de la antiderivada como integral indefinida, con la
siguiente notación:

Entonces al proceso de calcular una integral se llamaIntegración. El término
dx identifica a x como la variable de integración.
REGLA DE POTENCIAS

El siguiente teorema expresa que para integrar una potencia de x (distinta de
x 1 ) simplemente se aumenta el exponente en 1 y se divide por el numero que
indica el nuevo exponente. Observe que esta regla no funciona para n  1 , ya
que esto produciría una división entre cero. Más adelante sedesarrollara para
este caso.
Teorema 1. Regla de potencias

n 1
x
n
x
 dx  n  1  c
A continuación se resolverá algunas integrales utilizando la anterior regla.

Regla general que combina sumas y productos de constantes:

Teorema 2.
Supóngase que
cualquiera a y b,

f ( x) y g ( x) tienen antiderivadas. Entonces, para constantes

 af ( x)  bg ( x) dx  a  f ( x)dx  b g ( x)dx
Ejemplo Resuelto:
(3x4  2 x 5 )dx
Calcular 
Solución: Utilizando el teorema 2. Separando la integrales y sacando las
constantes tenemos:

3 x 4 dx  2 x 5 dx
Y hallando las antiderivadas correspondientes:

x5
x 4
3 2
c
5
4
Simplificando la solución:

3 5
1
x  4 c
5
2x
.

Interpretación Geométrica de la Integral Indefinida.

 2 xdx

2
obtenemos la función F ( x )  x  c , que como
vimos es la antiderivadade f ( x)  2 x . Entonces realicemos la gráfica de
F ( x )  x 2  c . Debemos tener diferentes valores para la constante de
integración c. En la animación se puede ver que se realiza la grafica
correspondiente para la función cuadrática con diferentes valores para c.

Al calcular la integral de

Luego al hallar la antiderivada F ( x)  c esta representa una familia de la misma
curva.
Método deSustitución

El método de sustitución es una de las herramientas más fuertes para hallar
integrales que no se pueden realizar en forma inmediata utilizando la fórmula
general.
Primero veamos un ejemplo, para luego generalizar el método.

Ejemplo: Evaluar la siguiente Integral

 x (1  x

2 5

) dx

Solución: Para resolver con la fórmula general de la integración, primero
2 5
tendríamos queresolver el binomio (1  x ) . Pero si usamos un cambio de
variable podemos reducir la integral, esto es
u  1 x2
du
 2x
dx

Derivando

dx 

Despejando dx , tenemos
Cambiando este resultado en la integral

du
2x .

 x (u )

5

du
2x

Simplificando la x nos queda:
1 5
u du
2

Aplicando la fórmula general de la integral
1 u6
c
2 6

Y cambiando nuevamente de variable para u, nos queda
2 5
x
(
1
x
) dx


1
(1  x 2 ) 6  c
= 12

En general podemos escribir el método de sustitución así:
Sea

 ( f ( x))

n

f ( x)dx , su solución está dada por,

Hacemos cambio de variable,

u  f (x) ,
Derivando

(considere la función interna)

du  f ( x)dx
Sustituyendo en la integral e integrando,

u n 1
 u du  n  1  c , para
n

n  1

Nuevamente cambiando de variable, queda

( f ( x)) n 1...