Guias fisiologia

Definici´n 1 o
Sea a > 0. Se define la exponencial en base a como ax , donde x ∈ R puede ser cualquier n´mero. u

Ejemplo 1
1. 33 = 27 1 1 2. 7−2 = 2 = 7 49 2 2 4 3. = 3 9 Definamos la gr´fica de axcomo el conjunto a E = {(x, y ) ∈ R2 : y = e x }

Ejemplo 2

x y = 2x −3 1/8 1/4 −2 −1 1/2 1 0 1 2 4 2 3 8

x −3 −2 −1 0 1 2 3

y=

1 2

x

8 4 2 1 1/2 1/4 1/8

8 7 6 5 4 3 2 1 -3-2 -1 1 2
x

3

Figura: 2x y

1 2

La exponencial cumple las siguientes propiedades, para todo a, b > 0 y x, y ∈ R: 1. a(x+y ) = ax ay . ax 2. a(x−y ) = y . a 3. axy = (ax )y = (ay )x . 1 4.a−x = x . a 5. (ab)x = ax b x . 6. Si 0 < a < 1, entonces la gr´fica de ax es decreciente. a 7. Si 1 < a, entonces la gr´fica de ax es creciente. a

Definici´n 2 o
Sea a ∈ R+ − {1}. Se define ellogaritmo en base a de x (y se denota por loga (x)) como aquel valor que cumple lo siguiente: Para todo y ∈ R, loga (x) = y si y solo si ay = x

Ejercicios 1
Calcular log10 (1000), log 1 (8), log2 (64).2

La gr´fica del logaritmo en base a esta dada por a L = {(x, y ) ∈ R2 : y = loga (x)}

Ejemplo 3
x log2 (x) 1/8 −3 1/4 −2 −1 1/2 1 0 1 2 2 4 8 3 x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 log 1 (x)
2

3 2 1 0−1 −2 −3

3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8

-1 -2 -3

1 Figura: log2 (x) y log 2 (x)

Si comparamos las gr´ficas de loga (x) con ax , tenemos que a
8 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8

2xlog2 (x)

El logaritmo tiene las siguientes propiedades para todo a ∈ R+ − {1}, x, y ∈ R+ y r ∈ R. 1. loga (xy ) = loga (x) + loga (y ). x 2. loga = loga (x) − loga (y ). y 3. loga (x r ) = rloga (x). 4. loga (ar ) = r . 5. loga (x) = loga (y ), si y solo si x = y . 6. Si 0 < a < 1, la gr´fica de loga (x) es decreciente. a 7. Si 1 < a, la gr´fica de loga (x) es creciente. a 8. (Cambio debase) Sean a, b ∈ R+ − {1}, entonces loga (x) = logb (x) logb (a)

Notaci´n o 1. Si a = 10, denotaremos log10 (x) = log(x). 2. Si a = e (con e = 2,7182818284590 . . . ), denotaremos loge (x) =...