Guille
Tautología: Son aquellas fórmulas que son ciertas para cualquier valoración de los símbolos proposicionales que contiene.
ϕ ∈ LΣ ϕ tautología ⇔ ∀ V [ϕ]V = 1 (o V ϕ )
1.4Tautologías, contradicciones y contingencias
Lógica
Contradicción: Son aquellas fórmulas que son falsas para cualquier valoración de los símbolos proposicionales que contiene.
ϕ ∈ LΣ ϕ contradicción ⇔ ∀ V[ϕ]V = 0 (o V ϕ )
Contigencia: Son aquellas fórmulas cuyo valor de verdad o falsedad depende de la valoración de los símbolos proposicionales que contiene.
1.4 Tautologías, contradicciones ycontingencias 2
Ejemplo
Teorema: Demostrad que = (p → q) ∧ p ∧ ¬q es una contradicción
• Reducción al absurdo:
Supongamos que existe valoración V tal que V Entonces V p → q, V p, V ¬q Perono es posible [p → q]V = 1 con V(p) = 1 y V(q) = 0
Teorema
Existe un método efectivo para decidir si una fórmula dada ϕ ∈ LΣ es tautología, contradicción o contingencia.
Ejemplo:
= (p → r) ∧(q → r) → (p ∨ q → r) p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 p → r q → r (p → r) ∧ (q → r) p ∨ q 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 p∨q→r 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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1.4 Tautologías, contradicciones y contingencias
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1.4 Tautologías, contradicciones y contingencias
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Sustituciones
Definición:
Sea una fórmula ψ ∈ LΣ quecontiene al menos los símbolos proposicionales p1, p2, ... pn ∈ Σ, y sean ϕ1, ϕ2, ... ϕn fórmulas arbitrarias de LΣ ψ’ = ψ[p1/ϕ1, p2/ϕ2, ... pn/ϕn] designa a la fórmula resultante de sustituir en ψ todas lasapariciones de p1, p2, ... pn por ϕ1, ϕ2, ... ϕn respectivamente.
Teorema
Teorema:
ϕ es tautología ⇔ Todo caso particular de ϕ (ϕ’) es tautología
Ejemplo:
φ ∧ ψ → φ tautología paracualesquiera fórmulas φ, ψ ∈ LΣ Por el teorema anterior ya que p ∧ q → p es tautología
Ejemplo: (p →¬q∧r)→(p↔s) [p/(s∧t),q/(¬t)] ⇒ ((s∧t) →¬(¬t)∧r)→((s∧t) ↔s) Definición:
La fórmula ψ’ obtenida a...
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