Hemeroteca
• Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
• Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas quecontienen derivadas respecto a dos o más variables
Introducción
Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
• [pic]es una ecuación diferencial ordinaria, donde [pic]es la variable dependiente, [pic]la variable independiente [pic]es la derivada de [pic]con respecto a [pic].
• La expresión [pic]es una ecuación en derivadas parciales.
A la variable dependiente también se lellama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).
[editar] Orden de la ecuaciónEl orden de la derivada más alta en una ecuación deferencial se llama orden de la ecuación
[editar] Grado de la ecuación
Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
[editar] Ecuación diferencial lineal
Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma[pic], es decir:
• Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
• En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
• Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
Ejemplos:
• [pic]es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene comosoluciones [pic], con k un número real cualquiera.
• [pic]es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones [pic], con a y b reales.
• [pic]es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones [pic], con a y b reales.
[editar] Usos
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para elmodelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
• En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:
[pic]
Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de laestructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
• La vibración de una cuerda está descrita por la siguienteecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:
[pic]
donde [pic]es el tiempo y [pic]es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.
[editar] Solución de una ecuación diferencial
[editar] Tipos de soluciones
Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con lasderivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a...
Regístrate para leer el documento completo.