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SIGMA
LAS TORRES DE HANOI Y EL MANDATO DE BRAHMA
Luis Balbuena Castellano (*)
1. INTRODUCCIÓN
Las Torres de Hanoi es un juego inventado por el creativo matemático francés E. Lucas vendiéndose como juguete en 1883. El material del juego lo forman tres pivotes (alineados o no),
en los que se sitúan un cierto número de aros o discos de distintos diámetros que se colocan
en uno de los pivotesextremos en orden decreciente de abajo para arriba, es decir, que en
la parte baja se coloca el de mayor diámetro y encima los de diámetros menores en orden
decreciente como se ve en la figura 1.

Figura 1

El objetivo del juego consiste en pasar los discos de un extremo al otro pero no de cualquier
forma sino siguiendo unas precisas y sencillas normas que son las que dictó Brahma y quereproducimos a continuación.
Y es que como la imaginación humana no tiene límites, este juego se transformó en leyenda,
una de cuyas versiones es la que dice que cuando Brahma terminó su obra, construyó un
enorme monasterio en Benarés, en uno de los patios interiores instaló tres agujas de oro alineadas colocando en una de las agujas extremas 64 discos de distintos diámetros tal y como
se haindicado anteriormente. Pues bien, la leyenda continúa diciendo que Brahma reunió a
sus monjes y les dijo que a partir de ese momento deberían trabajar incesantemente para llevar
los discos situados en una aguja extrema a la aguja del otro extremo. Pero no podrían hacerlo
de cualquier forma sino que tendrían que respetar las siguientes normas:
• En cada movimiento solo podrán llevar un disco.
•El trabajo hay que hacerlo en el menor número de movimientos posibles.
• No se puede colocar nunca un disco mayor sobre otro menor.
La leyenda concluye con esta sentencia de Brahma: “Cuando paséis el último disco, vendré
con todo mi poder para llevaros al Nirvana eterno donde no existirá ni el dolor ni la ignorancia. Después, la tierra desaparecerá”.

(*) Catedrático de Matemáticas, IES Vieray Clavijo, La Laguna, Tenerife).

Mayo 2006 • 2006ko Maiatza

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Luis Balbuena Castellano

Este final nos plantea dos problemas de trascendental importancia, a saber:
a) ¿Cuántos movimientos han de hacer los monjes de Benarés para cumplir con el mandato
de Brahma?
b) ¿Cuándo será, por tanto, el fin del mundo?
Estos serán los objetivos que pretendo cubrir pero lo haré haciendoun recorrido por interesantes aspectos del juego.

2. TORRES DE HANOI Y COMBINATORIA
Llamaré posición de los discos a cualquier colocación de los mismos que respete la ley de
no situar ningún disco mayor sobre otro menor. Paso a estudiar las posiciones en función del
número de discos que se utilicen.

Un disco
Solo hay tres posiciones posibles.

Figura 2

Denomino A, B y C a los trespivotes de izquierda a derecha y con esto, las tres posiciones de
la figura 2 se pueden esquematizar de la siguiente forma:
Discos:
Posiciones:

1
A
B
C

Otra notación que se puede utilizar se basa en lo siguiente: se identifica cada pivote con las
letras A, B y C y cada disco con los números 1, 2, 3, … correspondiendo el 1 al disco de menor
diámetro. Pues bien, si se coloca un subíndicea la letra que identifica el pivote tendremos
una forma de señalar la posición. Como en este caso solo hay un disco, según ese criterio las
posiciones quedan identificadas así:
A1
B1
C1

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SIGMA Nº 28 • SIGMA 28 zk.

Las torres de Hanoi y el mandato de Brahma

Si hay más discos, en esta segunda notación, Ai significa que el disco i está en el pivote A, Bj
quiere decir que eldisco j está en el pivote central B y Ck nos dice que el disco k está en el
pivote C que es el de la derecha.

Dos discos
En este caso tengo los discos 1 y 2 y las posiciones de los discos en los pivotes son las que
están dibujadas en la figura 3.

Figura 3

Teniendo en cuanta las dos notaciones explicadas, esas nueve posiciones quedan esquematizadas de las siguientes formas:
a)

Discos:...