HIDRAULICA




Por J.A Monroy

Tema 1) Problemas de la ecuación de la Energía o ec. de Bernoulli


Formulas requeridas

W = (A·Δs)γ

Fp1 = p1·A

Fp2 = p2·A

m = W/g



PB00) El cilindro de agua se mueve del punto 1 al 2 en una tubería que tiene un área de conducción A. Las fuerzas que intervienen en el movimiento son la presión (Fp), la fuerza de fricción (Ff) que genera el agua alrozar las paredes del tubo (según Chezy) y el peso del agua en el cilindro (W). Aplicando la 2ª Ley de Newton en el eje S y las formulas requeridas demuestre que la ecuación resultante es:


Sugerencia: la ecuación obtenida con la 2ª Ley de Newton se debe de multiplicar por el términos: Δs/W.

Resolución: La 2ª Ley establece que: ∑Fs = m·a por lo tanto;

∑Fs = (Fp1 – Fp2) –W·sin(θ) – Ff = m·a

Al multiplicar por se Δs/W y sustituyendo a la masa m y la aceleración a por las formulas indicadas en la figura se obtiene;

Eliminando las variables, Δs y W la ecuación se reduce a lo siguiente;


En la figura se observa que Δs en el triangulo es la hipote-nusa y Δs·sin(θ) es cateto opuesto y por lo tanto:→

Δs·sin(θ) = z2 – z1
En lo referente a las fuerzas depresión estas se sustituyen según las formulas por, Fp = p·A y el peso W por, W = (A·Δs)γ y se obtiene:→


Al sustituir los resultado para Δs·sin(θ) y (Fp1 – Fp2) se obtiene;



Agrupando las variables con subíndice 1 a la izquierda y con subíndice 1 a la derecha se obtiene la ecuación a demostrar,


A esta ecuación se le llama la Ecuación de la Energía o Ecuación de Bernoulli.

PB10)La energía Total en un punto se define como:

En el depósito donde el agua se en-cuentra estática (V = 0) determine cuál es la energía total en los puntos 1, 2 y 3.

Seleccione el nivel de referencia (z = 0) en el fondo (punto 3).


Resolución:

p1 = 0, V1 = 0 y z1 = 4.5 m por lo tanto, la energía tota en 1 es:

ET1 = 0/γ + 4.5 + 0/19.62 = 4.5 m

p2 = 2.0γ, V2 = 0 y z2 = 2.5 mpor lo tanto, la energía tota en 2 es:

ET2 = 2.0γ/γ + 2.5 + 0/19.62 = 4.5 m

p3 = 4.5γ, V3 = 0 y z3 = 0 m por lo tanto, la energía tota en 3 es:

ET3 = 4.5γ/γ + 0 + 0/19.62 = 4.5 m

Conclusión: en el interior de un depósito que contiene agua la energía total es la misma en todos los puntos, por esto, es recomendable colocar el punto de referencia en la superficie.

PB20) Determine cuáles la energía total en el punto 4 y cuál es la velocidad del chorro que descarga a la atmosfera.

No existen perdidas de energía al pasar el agua a través del tubo.


Resolución: La energía total en el punto 1 es: ET1 = 4.5 m

Planteando la ec. de la energía de 1 a 4 y considerando que no hay perdidas de energía se tiene:

ET1 = 4.5 m = ET4 + h14 = p4/γ + z4 + V42/19.62 + h14 = p4/γ +1.0 + V42/19.62 + 0

Por lo tanto la ET4 = 4.5 m, pero se desconoce cuál es la velocidad V4 y la presión p4, o sea, no en todos los puntos o secciones se conoce cuál es la velocidad y la presión, para esto se requiere de datos experimentales que se obtienen en un laboratorio.

Planteando la ec. de la energía de 1 a 5 y considerando que no hay perdidas de energía (h15 = 0) se tiene:

ET1 =4.5 m = ET5 + h15 = 0/γ + 1 + V42/19.62 + 0 = 1.0 + V52/19.62

Por lo tanto la V5 = [(4.5 – 1)x19.62]1/2 = 8.29 m/s.

PB30) (Ver figura problema PB20) En el punto 2, la fuerza de presión empuja al agua a salir por el tubo de Borda en un chorro que descarga a la atmosfera la velocidad del agua en el punto 2 es igual a 0 (V2 = 0) y en el punto 5 de 8.29 m/s, el área del tubo es, AT = 8·10-3 m2,determine cuál es, el área del chorro en el punto 5 (A5).

Resolución: Planteando la ecuación de impulso entre las secciones o puntos 2 a 5 en el eje horizontal, se tiene 2:

∑ Fx = Fp2 – Fp5 ± Wx – FR = ρQ(V5 – V2)

Como el peso del agua W solo tiene componente en el eje vertical Wx = 0, no hay fuerza de reacción FR que se oponga a la salida del chorro (FR = 0), la presión en...