Hidraulica

LA DERIVADA COMO DE RAZÓN DE CAMBIO


En muchas situaciones de la vida diaria podemos encontrar cantidades que cambian con el tiempo o con alguna otra variable. En este tema analizaremos algunos ejemplos que involucran la razón de cambio de una variable respecto a otra.

Definición:
Sea [pic] definida en el intervalo [pic] La razón media de cambio esta dada por la siguiente expresión:[pic]

y la razón de cambio en el instante (velocidad de variación de [pic] [pic]:

[pic]

Ejemplo 1: La cantidad de cargas eléctricas que pasan a través de la sección transversal de un conductor se define como: [pic] (C(. Hallar la intensidad de corriente que pasa en por el conductor en [pic]seg.

Solución:
La intensidad de corriente eléctrica se define como la cantidad decargas que cruzan la sección transversal de un conductor en la unidad de tiempo, en otras palabras la intensidad de corriente es la rapidez de variación de las cargas eléctricas respecto al tiempo: [pic], por lo que debemos derivar a [pic] y después evaluar para t = 5.
[pic] Si [pic] Amperes

Ejemplo 2: Al calentar un cuerpo su temperatura [pic] varía en función del tiempo[pic] conforme ala ley [pic] ¿A que velocidad se calienta el cuerpo en el instante t = 10 segundos?

Solución:
Para hallar la razón de cambio en t = 10 segundos debemos derivar a T y sustituir el tiempo.


Velocidad de calentamiento: [pic] ( [pic]grados por segundo.








Si se conoce la posición “[pic]” de una partícula en cualquier instante, entonces su velocidad se define como [pic]y su aceleración como [pic]

Ejemplo 3: El movimiento de una partícula viene dado por [pic]. ¿En qué instantes la partícula se hallará en la posición original?. ¿Para qué valor de “t” la velocidad es igual a cero?

Solución:
Si [pic] entonces: [pic] ( [pic]
La ecuación anterior se cumple para [pic] y cuando [pic]
Resolviendo la ecuación cuadrática obtenemos t = 8 seg.

Porlo tanto para t = 0 y para t = 8 seg. La partícula se encuentra en la posición [pic]

Por otra parte nos preguntan el instante en que la velocidad se hace cero, es decir, cuando cambia de dirección la partícula. Para ello necesitamos encontrar la función de velocidad con la primera derivada de [pic]:
[pic]

Si [pic] entonces: [pic]

( [pic]seg.


Ejemplo 4: Un cuerpo de masa m = 3kgse mueve en línea recta conforme a la ley [pic], donde [pic] (cm ( y [pic] (seg.(. Hallar la energía cinética para t = 5 seg.
Solución:
La energía cinética de una partícula esta dada por la siguiente relación: [pic], por lo que hay que encontrar [pic]: [pic] [pic]cm/s
Convirtiendo la velocidad a m/s: [pic] Joules.

Ec = 0.01815 Joules.

Ejemplo 5: Se bombea gas a un globo esférico arazón de 5 m3/min. ¿Si la presión se mantiene constante, cuál es la razón de cambio del radio cuando el diámetro mide 180 cm?

Solución:
El volumen de una esfera viene dado por: [pic]
La razón de cambio del volumen respecto al tiempo es: [pic]
Del enunciado del problema sabemos que [pic] ( [pic] ( [pic]
En el instante en que[pic] ( [pic] m/min.

( La razón de cambio del radiocuando el diámetro del globo es de 180cm es igual a:

[pic] cm/min.

Ejemplo 6: Una escalera de 20m de largo está recargada contra un edificio vertical. La base de la escalera resbala alejándose del edificio a razón de 3m/seg. ¿A que velocidad resbala hacia abajo el extremo superior de la escalera cuando se encuentra 8m arriba del suelo?


y´20m
y = 8m




x x´ = 3 m/s

Solución:

De acuerdo al teorema de Pitágoras: [pic] ( [pic]

Derivando con respecto al tiempo la expresión anterior:

[pic]

Necesitamos calcular el valor de[pic] para [pic]m:
[pic]m

Del enunciado del problema sabemos que [pic]m/s.

Por lo tanto:...