Hiperbola

HIPÉRBOLA
Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
[1Una hipérbola es una curva abierta de dos ramas, producida por la intersección de un cono circular recto y un plano que corta  las dos secciones delcono.
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva. |
]

Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola (curvas rojas), C. Los dospuntos focales se denominan F1 y F2, la línea negra que los une es el eje transversal. La delgada línea perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado. Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices, D1 y D2. La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde)desde un punto P de la hipérbola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia ±a con respecto al centro.

La fórmula matemática de la hipérbola, centrada en el origen de coordenadas es

Los puntos de corte de la hipérbola y el eje OX (abscisas) son:
A(a, 0) y A´(-a, 0)
   El eje real es el segmento AA´. El semieje reales a.
   No hay puntos de corte de la hipérbola y el eje OY (ordenadas).
   El eje imaginario es el segmento BB´. El semieje imaginario es b.
   Los puntos F(c, 0) y F´(-c, 0) se llaman focos.
   Para hallar los focos necesitamos conocer un nuevo valor c llamado semi-distancia focal, que verifica la siguiente ecuación: c2= a2 + b2.

Ecuaciones de la hipérbola
Ecuaciones en coordenadascartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas y ecuación de la hipérbola en su forma compleja.

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

Ejemplos:
a)

b)

Ecuación de la hipérbola en su forma compleja
Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos , en el plano ; tales que, cualesquiera de ellossatisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias , a dos puntos fijos llamados focos y , es una constante positiva igual al doble de la distancia (ósea ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.
La ecuación queda:
Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.
Ecuaciones en coordenadaspolares

Dos hipérbolas y sus asíntotas.
Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

Ecuaciones paramétricas
Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

  Ejercicios de hipérbola con centro en el origen
Ejemplo 1:
Losfocos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F’(-5, 0), V1(4, 0) y
V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas.  
Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma:
 . 
|
fig. 6.5.13. 
En este caso: a = 4; c = 5, de donde  (Ver fig. 6.5.13.)  En consecuencia, la ecuación de lahipérbola es:  . 
Ahora,   
  
  

Ejemplo 2:
La ecuación dada es de la forma
Comparando términos tenemos
a2 = 5
por lo tanto
a =
a = 2.2
b2 = 20
por lo tanto
b =
b =
b = 2
b = 4.4
c =
c =
c =
c = 5
Eje Real = Eje Transversal o Transverso = 2a = 2 = 4.4
Eje Imaginario = Eje conjugado = 2b = 4 = 8.8
Los Focos son:
F(0 , c) y F'(0 , -c)
F(0 , 5) y F'(0 , -5)...