Hiperbola

Hipérbola

1. Definición de hipérbola

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Elementos de la hipérbola.

❖ Focos
Son los puntos fijos F y F'.
❖ Eje focal
Es larecta que pasa por los focos.
❖ Eje secundario o imaginario
Es la mediatriz del segmento.
❖ Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
❖ Vértices
Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
❖Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.
❖ Distancia focal
Es el segmento de longitud 2c.

❖ Eje mayor
Es el segmento [pic]de longitud 2a.
❖ Eje menor
Es el segmento [pic]de longitud 2b.
❖ Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
❖ Relación entre los semiejes
 c2 = a2 +b2.

2. Ecuaciones de la hipérbola
Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas [pic]y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.
[pic]
3. Ecuación de una hipérbola con centro en el punto [pic]
[pic]

4. Ecuación de la hipérbola en su forma compleja
Una hipérbola en el plano complejo es el lugargeométrico formado por un conjunto de puntos[pic], en el plano[pic]; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias[pic], a dos puntos fijos llamados focos[pic] y[pic], es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea[pic]) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.
Laecuación queda: [pic]
Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.

5. Ecuaciones en coordenadas polares
Hipérbola abierta de derecha a izquierda
[pic]

Hipérbola abierta de arriba a abajo:
[pic]
Hipérbola abierta de noreste a suroeste:
[pic]
Hipérbola abierta de noroeste a sureste:[pic]

6. Ecuaciones paramétricas
Hipérbola abierta de derecha a izquierda:
[pic]
Hipérbola abierta de arriba a abajo:
[pic]

En todas las formulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor

Excentricidad.

Observando varias hipérbolas se ve que unastienen las ramas más abiertas que otras. Esta característica de ser más abierta o más cerrada se mide con un número llamado excentricidad (e), que es el cociente de c entre a:   e = c / a,     con   c>a.

Como c>a, se deduce que la excentricidad de la hipérbola es un número mayor que1.
Si e tiende a 1, c tiende al valor de a y las ramas se cierran cada vez más. Por el contrario, cuantomayor es la excentricidad, más se van abriendo las ramas de la hipérbola..

Asíntotas de la hipérbola.

Si se dibuja una hipérbola y varias rectas que pasen por el origen se llega enseguida a la conclusión de que hay dos tipos de rectas:
 

o Las que cortan a la hipérbola en dos puntos.
o Las que no cortan a la hipérbola.
Además, ambos tipos de rectas seagrupan formando dos haces separados de rectas. A las rectas que sirven de frontera entre ambos haces se les llama asíntotas.
Para trazar las asíntotas de la hipérbola se traza primero el rectángulo de lados paralelos a los ejes y que tiene por dimensiones 2a y 2b, y cuyo centro es el centro de la hipérbola. Después se trazan las diagonales del rectángulo que son las asíntotas de la...