hipotesis del angulo obtuso

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Espitia C. & Beltran A. 2009. La Hip´tesis del ´ngulo obtuso en Saccheri. Revista
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Sigma, 9 (1). P´g. 1-6. http://coes.udenar.edu.co/revistasigma/articulos/articulosIX1/1.pdf
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REVISTA SIGMA
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Departamento de Matematicas

Universidad de Nari˜o
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Volumen IX (2009), p´ ginas 1–6
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La Hip´tesis del ´ngulo obtuso en Saccheri
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Cristian Camilo Espitia Morillo1
Andr´sChaves Beltr´n2
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Universidad de Nari˜ o
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Abstract. In this article is approached one apart from the text Euclides Vindicatus by
Gerolamo Saccheri. In essence, is described the method that he used to refuse the hypothesis
of obtuse angle in his book of 1733. Also is presented a historical introduction of the problem
of parallels, which motivated the publication of the referenced text.Keywords. Non Euclidean Geometries, fiveth Euclides postulate, hipothesis of obtuse angle.

Resumen. En este art´
ıculo se aborda un aparte del texto Euclides Vindicatus [7], de Gerolamo Saccheri. En esencia se describe el m´todo que us´ para rechazar la hip´tesis del ´ngulo
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obtuso en su libro de 1733. Tambi´n se presenta una introducci´n hist´rica del problema de
e
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lasparalelas, lo cual motiv´ la publicaci´n de la obra referenciada.
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Keywords. Geometr´ no Euclidianas, quinto postulado de Euclides, hip´tesis del ´ngulo
ıas
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obtuso.

1.

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INTRODUCCION HISTORICA

Al exponer un recorrido hist´rico concerniente al surgimiento de las Geometr´ no Euclio
ıas
dianas, es imprescindible hablar del primer tratado sistem´tico de matem´ticas conocido el
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cual data del a˜ o 300 antes de Cristo, este es Los Elementos de Euclides. En el se recogen
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los conocimientos fundamentales que los matem´ticos hab´ acumulado hasta entonces y
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ıan
se exponen de una manera sistem´tica.
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Proclo se˜ ala que Euclides recopil´ teoremas de Eudoxo, perfeccion´ los de Teateto y den
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mostr´ algunos teoremas que sus predecesores hab´ probado concierta imprecisi´n. Euo
ıan
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clides reuni´ todos estos conocimientos en su obra, la cual consta de 13 libros. En su primer
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libro expone 5 postulados y 5 nociones comunes. En la traducci´n de los Elementos hecha
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por Mar´ Luisa Puertas Casta˜ o [4] se menciona: ((postulados son las verdades iniciales de
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todo sistema axiom´tico y se refieren siempre a la materia concreta en la que setrabaje,
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mientras que noci´n com´ n son verdades comunes a todas las ciencias y tomadas como
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obvias )). Entre los postulados se encuentran:
1 Estudiante
2 Docente

de Licenciatura en matem´ticas. Universidad de Nari˜o.
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del Departamento de Matem´ticas y Estad´
a
ıstica. Universidad de Nari˜o.
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1

1. Post´lese el trazar una l´nea recta desde un punto cualquiera hasta unpunto cualquiera.
u
ı
2. Y prolongar continuamente una recta finita en l´nea recta.
ı
3. Y el describir un c´rculo con cualquier centro y distancia.
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4. Y el ser todos los angulos rectos iguales entre s´.
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5. Y que una recta al incidir sobre dos rectas hace los angulos internos del mismo lado
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menores que dos rectos, las dos rectas prolongamos indefinidamente se encontrar´n en
ael lado en el que est´n los angulos menores que dos rectos.
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Euclides [4], p´g 107.
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Los 3 primeros apelan a un proceso de construcci´n con regla y comp´s, el cuarto postula
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una propiedad importante de los ´ngulos rectos y el quinto asegura el encuentro de dos
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rectas (coplanarias) cuando al ser cortadas por una transversal forman hacia un mismo lado
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´ngulos cuya suma esmenor a dos rectos.
Puede encontrarse una diferencia entre el quinto y los otros cuatro postulados; el quinto
no es tan conciso y comprensible como los anteriores. Al respecto, los matem´ticos de la
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antig¨ edad se plantearon la posibilidad de considerarlo como un teorema y por consiguiente
u
hallar una posible demostraci´n a partir del resto de los principios b´sicos de la Geometr´
o
a...