Historia de la derivada

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Historia de la derivada

Los problemas típicos que dieron origen al Cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de Grecia(siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después( en el siglo XVII por obra de Newton y Leibniz).

En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:▪ El problema de la tangente a una curva (Apolonio)
▪ El problema de los extremos: máximos y mínimos (Fermat)
En su conjunto dieron origen a lo que moderadamente se conoce como cálculo diferencial.

[editar]Siglo XVII
Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Kepler y Cavallieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino quellevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.

A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez mas usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.

[editar]Newton y Leibniz
A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados porsus predecesores los que hoy llamamos "derivadas" e "integrales". Desarrollaron reglas para manipular las derivadas(reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos(Teorema fundamental del cálculo).

Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubiertopor Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable "fluye"(varía) con el tiempo.

Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fué el primero en públicar los mismos resultados que Newtondescubriera 10 años antes. En su investigación conservó un cáracter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fué quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: Cálculo diferencial y Cálculo Integral, así como los símbolos dx/dy y el símbolo de la integral.

Condiciones de continuidad de una función

Una funcióncontinua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementos pequeños en la variable dependiente a pequeños incrementos de los elementos del dominio de dicha función, es decir, [pic], y usando la expresión Δy + y = f(Δx + x), queda [pic] donde en este caso, f(x) = y. Ello quiere decir que [pic], y si este último límite existe significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existesi y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f(x) que cumpla con

[pic] es continua en el punto a.

[editar]Condición no recíproca

La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean equivalentes pero las derivadas laterales no; en este caso la función presentaun punto anguloso en dicho punto.

Un ejemplo puede ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto [pic]. Dicha función es equivalente a la función partida [pic]

Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan [pic]

Cuando [pic] vale 0,las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo.

De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable.

Definición analítica de derivada como un límite

[pic]
[pic]
Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.

En terminología...
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