Historia De Las Ecuaciones Diferenciales

historia de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
El concepto de Ecuación Diferencial nace (a fines del siglo XVII) como una ecuación
que relaciona diferenciales, este concepto se mantiene estable hasta que Cauchy
(hacia 1821) agrega la derivada.

Históricamente, la integración antecedió a la diferenciación por, prácticamente, dos mil
años. El antiguo método griego de exhaución y lasmedidas infinitesimales de
Arquímedes, representan ejemplos antiguos de procesos límites de sumas integrales,
pero no fue hasta el siglo XVII que Fermat, encontró las tangentes y los puntos críticos
por métodos equivalentes a la evaluación de cocientes incrementales. Él descubrió la
naturaleza inversa de estos dos procesos, junto con la consecuente explicación de la antiderivación en ladeterminación límite de sumas
La integración fue tomada como “la memoria de la derivación” y no fue hasta 150 años más tarde, que la atención se dirigió directamente al concepto de sumación en el cálculo.
El Calculus apareció impreso, por primera vez, en una memoria de seis páginas de
Leibniz (1646-1716) en el Acta Eruditorium de 1684, que contenía una definición de la
diferencial y donde dio pequeñasreglas para su cálculo en sumas, productos, cocientes,
potencias y raíces. Él incluyó también pequeñas aplicaciones a problemas de tangentes
y puntos críticos.

El término aequatio differentialis, fue primeramente usado por Leibniz en 1676 para denotar una relación entre las diferenciales dx y dy y dos variables x e y.

La primera clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias deprimer orden
la dio Newton. El primer tipo estaba compuesto de aquellas ecuaciones en las cuales dos fluxiones x´, y´, y un fluente x o y están relacionados; el segundo tipo abarcó aquellas ecuaciones que involucran dos fluxiones y dos fluentes x´/y´=f(x,y) (dy/dx=f(x,y)). Y finalmente, el tercer tipo abarcó a ecuaciones que involucran más de dos fluxiones, las cuales en la actualidad conducen aecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

En la última década del siglo XVII, los hermanos Bernoulli (James y Johan) introducen
términos como el de “integrar” una ecuación diferencial, así como el proceso de
“separación de variables” (separatio indeterminatarum) de una ecuación diferencial.
Alrededor de 1692, Johan Bernoulli I (1667-1748) encontró otro método, utilizado en
una seriede problemas, la “multiplicación por un factor integrante” (sobre todo para
resolver ecuaciones en los cuales el método anterior no se podía aplicar, digamos la
ecuación xdy–ydx=0, ya que aunque era posible separar las variables no se podía
integrar, ya que en la época no se conocía que ∫dx/x=lnx), método también usado por su
sobrino Daniel (1700-1782) a partir de 1720.

Resultados decarácter general comienzan a advertirse a mediados de los años 20 del
siglo XVIII. En 1724, el matemático italiano J. F. Riccati (1676-1754) estudió la ecuación
dy/dx + ay2 = bx, (, a, b constantes) determinando la integrabilidad en funciones
elementales de esta, de aquí que (y a propuesta de D’Alembert en 1769) lleve su nombre,
denominación extendida a todas las ecuaciones del tipoy'=P(x)y2+Q(x)y+R(x), (P, Q y R
funciones continuas). La investigación de esta ecuación fue ocupación de muchos
matemáticos: Leibniz, Ch. Goldbach (1690-1764), Johan I, Nicolás I (1687-1759) y Daniel
Bernoulli entre otros. Daniel estableció que esta se integra mediante funciones
elementales sí = -2 ó = 4k/(2k-1) k entero [54].
Es a Euler a quien le corresponde la primera sistematización de los trabajosanteriores
en, donde encontramos lo que se puede llamar la primera teoría de las ecuaciones
diferenciales ordinarias. Esta obra contiene estudios de las ecuaciones diferenciales de 1er orden (y su correspondiente clasificación en “separables”, “homogéneas”, “lineales”, “exactas”), las de segundo orden (lineales, y las susceptibles de reducir el orden), y su generalización a las de orden...