Historia Del Salario

Límites indeterminados

Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estas formas:

Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la forma ¥ - ¥ no da, en general, como resultado cero, tampoco un límite de la forma 1¥ da siempre como resultado uno. Por esta razón se les llama límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso.
Obsérveseque ya se han estudiado varios casos de indeterminaciones de la
-¥ a +¥ pasando por todos los valores intermedios.
Ejemplo:


Resolución:
·Este límite es de la forma ¥ - ¥. Indeterminado.
Este límite se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado, es decir, por


· Por tanto el límite se reduce a calcular

Resolución:
· El primer factor tiene porlímite cero ya que el grado del numerador es menor que el del denominador.
· El segundo factor tiene por límite ¥ pues el grado del numerador es mayor que el del denominador.
· El límite es por tanto de la forma 0·¥ . Indeterminado.
· Multiplicando las dos fracciones:

· Al ser un cociente de polinomios de igual grado,





Resolución:Resolución:

·Se saca factor común n2 en la expresión n2 + 3n -2:





La indeterminación
Para salvar indeterminaciones de este tipo, es posible reducir el cociente planteado a otro cuyo denominador no sea cero factorizando el numerador y/o el denominador, cancelando luego los factores comunes. En otras ocasiones, es posible crear un factor común multiplicando el numerador y eldenominador por la expresión conjugada de la que se presenta en uno de ellos.

Ejemplo. Halle
Al sustituir, resulta y lo que genera una indeterminación del tipo.
Sin embargo, como si x ¹ 3, resulta que la función coincide con la función (x + 3) salvo en x = 3.
Como interesa analizar el comportamiento de la función para valores de x próximos a 3 (por izquierda y por derecha), es posibledeterminar el comportamiento de analizando el de la función (x + 3).
Por lo tanto puede decirse que
Nota. Existe algo sospechoso en este ejemplo. Si el 3 no estaba en el dominio antes de simplificar, pero sí lo estaba después de simplificar, la función seguramente ha cambiado.
Al decir mentimos un poco. Lo que en realidad quisimos decir es que esas dos expresiones son iguales en donde están definidas.En realidad y x + 3 son distintas. La diferencia entre ellas es que x = 3 no pertenece al dominio de pero sí al dominio de x + 3. Puesto que ignora cualquier valor que f pueda tomar x = 3, eso no interesa. Desde el punto de vista del límite en 2 esas funciones sí son iguales.
Ejemplo. Calcule el valor de .
Al sustituir la variable por 1, tanto el numerador como el denominador se anulan y segenera la indeterminación. Se factoriza el numerador y el denominador y, para x ¹ 1, se simplifican los factores comunes:

La indeterminación
Se analizará el límite del cociente de dos funciones polinomiales en el que la variable crece o decrece indefinidamente. Se debe tener en cuenta que el límite de una función polinomial de grado n ³ 1 cuando x tiende a +¥ ó a -¥ es +¥ ó -¥ . Para resolverlímites de este tipo, se dividen el numerador y el denominador de la función dada por xn, siendo n el mayor de los grados de las funciones polinomiales. Luego se aplican las propiedades de los límites.
Ejemplo. Halle
La función dada consiste en el cociente de dos funciones polinomiales: una de grado 4 y otra de grado 3. Por lo tanto, se dividen el numerador y el denominador por x4 y resulta:En el ejemplo dado, el grado de la función polinomial del numerador es mayor que el de la del denominador y se obtuvo en este caso ¥.
Ejemplo. Determine
Se dividen el numerador y denominador por x3:
.
Puede observarse que el ejemplo se refiere al cálculo del límite del cociente de dos funciones polinomiales del mismo grado y se obtuvo como resultado el cociente de los coeficientes de los...