Historia eric roll

PROCESOS ESTOCÁSTICOS
INTEGRAL ESTOCÁSTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCASTICAS: LEMA DE ITO

Procesos estocásticos
• Un proceso estocástico describe la evolución temporal de una variable aleatoria. • Tipos de procesos estocásticos:
– de tiempo discreto: aquel en el que la variable puede cambiar de valor únicamente en instantes concretos del tiempo – de tiempo continuo: aquel en el que lavariable puede cambiar de valor en cualquier instante del tiempo – de variable discreta: aquel en el que la variable sólo puede tomar determinados valores discretos – de variable continua: aquel en el que la variable puede tomar cualquier valor de la recta real
Nuestro objetivo será deducir un proceso estocástico de variable continua y en tiempo continuo adecuado para describir el comportamientode variables económico financieras (precios de las acciones, rendimientos de activos, tipos de interés...)

Expresión analítica de un proceso estocástico
• Sabemos que el comportamiento de una variable aleatoria se describe mediante una adecuada distribución de probabilidad. En un proceso estocástico el comportamiento de la variable aleatoria considerada varía en el tiempo. Por tanto, ladistribución de probabilidad utilizada para describirla también podrá variar en el tiempo. • Para describir el proceso estocástico que sigue una variable aleatoria temporal xt , deberemos indicar en cada instante t cual es la distribución de probabilidad asociada a xt. Ejemplo: Consideremos el procesos estocástico xT dado por:

xT ∼ N ( x0 + µT , σ 2T ) x0 , µ , σ constantes conocidas
En un instantefinal de tiempo T, xT sigue una distribución de probabilidad de media x0+µT y de varianza σ 2T

• Cuando se está modelizando un fenómeno real, resulta difícil establecer directamente cual va ser la distribución de probabilidad adecuada, asi como determinar cómo van a variar sus parámetros en el tiempo. • Por ello es frecuente que los procesos estocásticos vengan dados mediante ecuaciones,similares a las de los modelos discretos en diferencias finitas que aparecían en el ejemplo del tema 1. En dichas ecuaciones se relaciona el valor de la variable aleatoria xt en el instante t, con su valor en el instante anterior xt-1. • Ahora bien, para que una ecuación en diferencias sea estocástica es necesario que en su expresión intervenga una variable aleatoria estándar ξt.. De este modo elvalor de xt no se deduce de forma determinista a partir del valor de xt-1, sino que depende también del comportamiento de la variable aleatoria ξt. • ξt inducirá en xt una distribución de probabilidad variable en el tiempo. Es decir, xt seguirá un proceso estocástico.

• Ejemplos de procesos estocásticos definidos por ecuaciones
t =t ξ xt =xxx−11++ ξt t−

(x0 conocido)

• Caso 1: ξt sigue unadistribución de probabilidad dada por: 1 P(ξt =1) = P(ξt = −1) = 2

La distribución de probabilidad de xt vendrá inducida a partir de la distribución binomial que sigue ξt . Este ejemplo se puede ilustrar mediante el experimento del lanzamiento de una moneda.

• Caso 2: ξt sigue una distribución de probabilidad dada por:

P(ξt = 1) = p

P(ξt = −1) = 1− p
• Caso 3: ξt sigue unadistribución de probabilidad N(0,σ)

x t = δ + ρ x t −1 + ξ t • x0 conocido • δ y ρ constantes, siendo -1 ≤ ρ ≤ 1 • ξt sigue una distribución de probabilidad N(0,σ) Proceso autoregresivo de primer orden

Nota: En muchos casos, es posible deducir a partir de la ecuación que define el proceso estocástico, cual sería la distribución de probabilidad de la variable aleatoria xt . Veremos este procedimientopara la ecuación en diferencias estocástica que nos interesa estudiar en profundidad.

Simulación de procesos estocásticos

Procesos de Markov Procesos de Wiener
• Un proceso de Markov es un tipo particular de proceso estocástico en el que únicamente el estado actual del proceso es relevante a la hora de predecir el estado futuro. Es decir, la historia pasada del proceso y la forma en que...