historia
Material N° 37
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 28
UNIDAD: GEOMETRÍA
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO - ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
Determinación del plano:
Un plano queda determinado por:
♦
Dos rectas que se intersectan (fig. 1).
P
L1
L2
♦
Tres puntos no colineales (fig. 2).
P
A
B
♦
♦
Por una recta y un punto no perteneciente aella
(fig. 3).
Por dos rectas paralelas (fig. 4).
fig. 2
C
P
L1
A.
P
fig. 1
fig. 3
L1
L2
fig. 4
EJEMPLO
1.
¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa?
A)
B)
C)
D)
E)
Un
Un
Un
Un
Un
plano
plano
plano
plano
plano
está
está
está
está
está
determinado
determinado
determinado
determinado
determinado
por una recta y un puntode perteneciente a la recta.
por los cuatro vértices de un cuadrilátero.
por dos rectas perpendiculares.
por dos lados no consecutivos de un rombo.
por los vértices de un triángulo rectángulo.
DEFINICIONES
POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina cara,
sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices.
Arista
CaraVértice
PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos
congruentes cuyos planos son paralelos (bases de prisma).
ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista común y su
medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un mismo
punto.
Ángulo
P2
Semiplano
Arista
diedro
P1EJEMPLOS
1.
¿Cuánto mide el ángulo diedro formado por los planos P1 y P2 que se cortan
perpendicularmente en la figura 1?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
P2
30º
45º
54º
90º
108º
fig. 1
P1
¿Cuánto mide el ángulo diedro formado por las caras laterales del prisma de la figura 2,
cuya base es un pentágono regular?
A)
B)
C)
D)
E)
30º
45º
54º
90º
108º
fig. 2
2CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS
CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje
ESFERA
eje de giro
CILINDRO
CONO
TRONCO DE
CONO
CILINDRO CON
DOS CONOS
TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana:
Prisma triangular
Prisma trapezoidal
Prisma pentagonalPrisma hexagonal
Cilindro circular recto
EJEMPLOS
1.
Dado un triángulo ABC, rectángulo en C (figura 1).
rotación de dicho triángulo en torno a su hipotenusa?
C
A
A)
2.
B)
¿Cuál es el cuerpo generado por la
fig. 1
B
C)
E)
D)
En la figura 2, se muestra un cuerpo de revolución. Este cuerpo puede ser generado por la
rotación de la región
fig. 2
I)
A)Sólo I
II)
B)
Sólo II
C)
III)
Sólo III
3
D)
Sólo I y II
E)
Sólo I y III
CUADRO RESUMEN DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
NOMBRE
PARALELEPÍPEDO
RECTANGULAR
FORMA
ÁREA
2(ab +bh + ah)
a⋅b⋅h
6a2
h
VOLUMEN
a3
a
b
a
CUBO
a
a
Volumen
B
h(a + b + c)+ 2B
B = área basal
Bh
h
2πrh + 2πr2πr2 ⋅ h
a
PRISMA RECTO
RECTANGULAR
2ag + a2
g = apotema
lateral
12
a ⋅h
3
h
a
b
Área de la base por
la altura
c
CILINDRO RECTO
BASE CIRCULAR
•r
PIRÁMIDE RECTA
BASE CUADRADA
g
h
a
CONO RECTO BASE
CIRCULAR
πrg + πr2
g= generatriz
12
πr ⋅ h
3
4πr2
hg
43
πr
3
•r
ESFERA
•
r
4
Volumen
Área de la base por
la alturadividido
por tres
EJEMPLOS
1.
El área de la esfera cuyo radio mide 6 cm es
A)
B)
C)
D)
E)
2.
π
π
π
π
π
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
¿Cuál es el volumen del cono generado por un triángulo rectángulo con respecto a un cateto
cuyos catetos miden 3 cm cada uno?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
16
36
72
144
288
3π cm3
6π cm3
9π cm3
27π cm3
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