Historia

4. UN EJEMPLO DE ELLOS DE APLICACIÓN DE LA PARABOLA DE MINIMOS CUADRADOS.

Se tiene un experimento del cual están únicamente disponibles los tres datos que aparecen en la siguiente gráfica:¿Cuál será la fórmula empírica que mejor se pueda ajustar a estos datos?

Intentar llevar a cabo un ajuste de mínimos cuadrados para obtener la línea de regresión que mejor se aproxime a los tresdatos mostrados en la gráfica será una pérdida de tiempo, ya que los puntos no muestran tendencia alguna de agruparse en las proximidades de una línea recta. Sin embargo, podemos tratar de llevar acabo aquí un ajuste utilizando como modelo un polinomio cuadrático, haciendo pasar los tres puntos exactamente a lo largo del polinomio:

P(X) = a0 + a1X + a2X2

Sustituyendo los tres pares dedatos en el polinomio cuadrático:

A(X1, Y1)=(1,1)

B(X2, Y2)=(2,8)

C(X2, Y2)=(3,2)

Se obtiene que:

1 = a0 + a1(1) + a2(1)2

8 = a0 + a1(2) + a2(2)2

2 = a0 + a1(3) + a2(3)2


Y asíobtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones que se pueden resolver como ecuaciones simultáneas:

a0 + a1 + a2 = 1

a0 + 2a1 +4a2 = 8

a0 + 3a1 + 9a2 = 2

De estas tres ecuaciones obtenemos comosolución los siguientes coeficientes:

a0 = -19

a1 = 26.5

a2 = -5.5

La fórmula cuadrática que modela exactamente los tres pares de datos es entonces:

P(X) = -19 + 26.5X - 6.5X2

Lagráfica de esta fórmula cuadrática superimpuesta sobre los tres puntos discretos que la produjeron es la siguiente:



Si los datos que produjeron la fórmula cuadrática que forzada sobre dichos datosfueron recabados de la vida real, la dificultad con el método del ajuste exacto es que si se recaban posteriormente datos adicionales para valores de Y en otros puntos de X tales como X=1.5 y X=2.5,tales puntos adicionales no pueden ser utilizados para refinar el modelo, ya que su derivación no admite más que tres pares de datos; en cuyo caso la recabación de datos adicionales sólo servirá...