Historia

Principio de D'Alembert y Ecuaciones de LaGrange

, donde:, es otra forma de escribir la ecuación del movimiento para cada partícula "n". Visto así, el principio de D'Alembert no expresa otra cosasino una condición de equilibrio.

es un incremento infinitesimal real del desplazamiento. Nótese que estamos bajo un símbolo de sumatorio y no bajo una integral.

Para llegar a las ecuaciones deLaGrange a partir de este principio es necesario primero transformar las coordenadas a unas nuevas coordenadas generalizadas. Estas coordenadas serán qn y i. Por conveniencia, designarán posiciones yderivadas respecto del tiempo de las posiciones, aunque generalmente puedan representar diversas magnitudes. Esto se consigue utilizando la regla de la cadena para derivadas parciales. A modo derecordatorio, vaya aquí un ejemplo:

Recordamos que el índice "n" se está reservando para partículas, y que el índice "i", por tanto, pertenecerá a cada coordenada generalizada.

Sustituyendo esto y F= - V(léase lo posterior) en el principio de D'Alembert se llega a"n" ecuaciones para la energía cinética T.

Tengamos en cuenta que estamos trabajando con fuerzas que derivan de un potencial, y portanto, F = -V. Cuando sustituimos esto encontramos que en esas "n"ecuaciones que cumple la energía potencial, todo lo que ocurre se produce en el segundo miembro de las ecuaciones que obtuvimosarriba (para ver esto, simplemente, llévese hasta este segundo miembro todas las expresiones que pueda de lo que haya surgido en las operaciones con el gradiente, y parezca estar relacionado con la energíapotencial V.

Si no es capaz a la primera, haga el camino a la inversa: parta de las ecuaciones de Lagrange y termine en el principio de D´Alembert). Por tanto, el primer miembro tiene la mismaforma funcional que las ecuaciones para la energía cinética (que corresponderá a todo lo que en esas ecuaciones no haya surgido de la potencial). Parece adecuado entonces definir una nueva magnitud que...