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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
CONCEPTOS GENERALES
Las funciones trigonométricas resultan básicamente de realizar divisiones entre los lados de un triángulo. Su aplicación se extiende a parte de las ramas de la matemática, al estudio de muchos conceptos básicos de la física. Para una mejor comprensión del tema, analicemos la siguiente gráfica:
[pic]
En la figura se observa un ángulo que orientadoen forma positiva (en sentido contrario a las manecillas del reloj), en el cual su lado inicial es el mismo eje de coordenadas x, y su lado Terminal el nombrado con la letra A. Sobre este lado terminal se han localizado dos puntos P1 y P2 respectivamente, y por cada uno de los dos puntos hemos trazado igual número de perpendiculares sobre el eje de coordenadas x, formando así dos triángulosrectángulos a saber: triángulo 0M1P1 y 0M2P2. De lo anterior, se deduce, que de la misma forma que hemos construido dos triángulos rectángulos, se pueden construir una cantidad infinita de triángulos, que por geometría se sabe que serán semejantes entre sí.
En forma general, tomemos un solo triángulo representativo de la cantidad infinita de triángulos que se pueden construir, que sería el triángulo0MP, donde el punto P tiene de coordenadas dos puntos (x, y).
Sea el triángulo rectángulo:
[pic]
El lado que se encuentra al frente del ángulo recto, en cualquier triángulo rectángulorecibe el nombre de hipotenusa, que en la gráfica la hemos señalado con la letra r.
Por el teorema de Pitágoras se halla el valor de r, entonces:
[pic]
Esta relación indica que para cualquier ángulo dado,cualquiera que sea el punto P quese tome sobre su lado terminal, el cociente entre cualquiera de los lados y r, tiene un valorconstante.
Es decir:
[pic]
siempre van a tener un valor constante.
[pic]
De igual manera, como se han encontrado los valores de estas dos funciones, por semejanza de triángulos se puede hallar otras proporciones y nombrarlas con diferentes nombres, que en conjunto son las quellamamos funciones trigonométricas.
En función del triángulo rectángulo se definen las funciones trigonométricas así:
[pic]
Llamando:
r = hipotenusa del triángulo
y = cateto opuesto respecto de [pic].
x = cateto adyacente respecto de [pic].
Entonces:
[pic]
[pic]
 
[pic]
[pic]
Sea el triángulo de la figura:
[pic]

Calcular las funciones trigonométricas del ángulo[pic].
Para hallarlas funciones trigonométricas, es indispensable conocer el valor del lado a. Para hallarlo utilizamos el teorema de Pitágoras:
[pic]
[pic]
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES
Se sabe por definición que los ángulos internos de cualquier triángulo suman 180°.
Si a un cuadrado se le traza una diagonal, genera dos triángulos rectángulos, con unángulo de 90° y dos de 45°. Ahora, si setrata de un triángulo equilátero donde sus tres ángulos son iguales (60° cada uno), y se divide en dos partes trazando una de las alturas del triángulo, genera dos triángulos rectángulos, donde cada uno de los triángulos tiene un ángulo de 90°, uno de 60° y el otro de 30°. A los ángulos de 30°, 45° y 60° son los que llamamos ángulos notables.
[pic]Funciones trigonométricas para los ángulos de 30°y 60°
Para hallar las funciones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°, tomaremos comobase un triángulo equilátero.
[pic]
Observemos que al dividir el triángulo equilátero en dos partes, resultan dos triángulosrectángulos.
Tomemos uno de ellos:
[pic]
Para hallar las funciones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°,es necesarioencontrar el valor de la altura del triángulo. Estevalor se halla por medio del teorema dePitágoras:
[pic]
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Teniendo los datos del triángulo completos, se hallan las funciones trigonométricas paracada uno de los ángulos:
[pic]
De igual manera se procede para el ángulo de 30°, y se tendrá:
[pic]
De lo anterior se establece una serie de relaciones entre los dos ángulos:
Seno 60° = Coseno 30°
Coseno 60° = Seno 30°
Tangente 60° =...