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FACULTAD DE INGENIERÍA DPTO. DE MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO Álgebra Lineal FMM113

Guía N◦1
1. Considerar las matrices: X=  0 5 −2 8 , Y = −2 3 , Z = 1 3 4 7  0 1 5 1 3 6

Calcule las siguientes operaciones: Y X, Y Z, (Y X)Z, Y (XZ).     1 −2 3 −1 2 3 4 ,B =  4 0 −1  2. Dada las matrices A =  0 −1 2 0 −1 0 −2 3 Calcule AB y BA. 3. Considere las matrices A = 1 −2 −1 0 ,B= −1 3 2 −1 las siguientes ecuaciones matriciales para X ∈ M2×2 ( ): ,C = 2 1 . Resuelva 3 4

R

(i) AX = B. (ii) AX t = B. (iii) AX + B = C. (iv) At X = C. (v) ABX = C t . (vi) AX + 3B = 2X. (vii) (AC − XB)t − AX t = C 2 + BX t . 4. Encontrar ejemplos específicos (numéricos) de matrices A, B y C en M2×2 ( ) tales que: (i) AB = −BA. (ii) (A + B)2 = A2 + B 2 (use (i)). (iii) A2 = −I. (iv) BC =0, pero ni B ni C son la matriz nula. (v) BC = 0, pero CB = 0. 5. Sean A, B ∈ Mn×n ( ) dos matrices cuadradas tal que A2 = 0n y B 2 = 0n , donde 0n es la matriz nula de n × n. 1

R

R

a) Calcule (A + B)3 . b) Que condición se debe cumplir para que (A + B)3 no sea igual a la matriz nula 0n . 6. Encuentre valores de a y b ∈

R tales que la matriz:
A= 1 1+a 1−a b

sea idempotente, esdecir, A2 = A. 7. Se dice que A ∈ M2×2 ( ) es de rotación si existen a, b ∈ a b A= . Muestre que: −b a

R

R tales que: a2 + b2 = 1 y

(i) Si A es de rotación entonces A es invertible y A−1 es de rotación. (ii) Si A y B son de rotación entonces AB es de rotación y AB = BA. 8. Sea A ∈ M2×2 ( ). Diremos que A conmuta con B si AB = BA. Pruebe que: (i) Si A conmuta con la matriz A= a b . 0 a 0 0 ,entonces existen números reales a y b tal que 0 1 0 1 , entonces existen números reales a y b tal que 0 0

R

(ii) Si A conmuta con la matriz A= a 0 . 0 b

(iii) A conmuta con toda matriz ∈ M2×2 ( ) si y sólo si A = diag(α, α) con α ∈

9. Sea A = (aij ) ∈ Mn×n ( ). Se define la traza de A, tr(A), como la suma de los elementos de la diagonal principal de A. Es decir,
n

R

R

R.tr(A) =
i=1

aii

.

Para A, B, P ∈ M2×2 ( ) demuestre las siguientes propiedades: (i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B). (ii) tr(AB) = tr(BA). (iii) tr(P −1 AP ) = tr(A) para cualquier matriz invertible P (use (ii)). (iv) tr(λA) = λtr(A) para cualquier escalar λ ∈ (v) tr(A ) = tr(A).
t

R

R.

2

10. Encuentre todas las matrices reales A ∈ M2×2 ( ) simétricas y de traza 0 que satisfagan laecuación: A2 − A = 0 0 0 2

R

11. Se dice que una matriz cuadrada es idempotente si A2 = A. Sean A y B dos matrices cuadradas idempotentes de la misma dimensión. Probar que A + B es idempotente sí y sólo sí AB = −BA. 12. Sean A, B ∈ Mn×n ( ). a) Pruebe que si A es idempotente, entonces la matriz C = 2A − I es tal que C 2 = I. b) Pruebe que si AAt = 0n , entonces A = 0n . c) Pruebe que si Atiene una fila de ceros, entonces AB tiene una fila de ceros. d ) Pruebe que si B tiene una columna de ceros, entonces AB tiene una columna de ceros. e) Pruebe que si existe k ∈ su inversa.

R

N tal que Ak = I, entonces A es invertible y determine

f ) Pruebe que si B es simétrica e invertible, entonces B −1 es simétrica. 13. Se dice que P ∈ Mn×n ( ) es una matriz de proyección si P = P 2 . a)Pruebe que si P es matriz de proyección, entonces In − P es matriz de proyección, donde In es la matriz identidad en Mn×n ( ).

R

R

b) Pruebe que si P es de proyección, entonces P t también lo es. c) Pruebe que P es matriz de proyección si y sólo si P 2 (In −P ) = 0 y P (In −P )2 = 0. d ) Encuentre P ∈ M2×2 ( ) tal que P = P 2 y P 2 (I2 − P ) = 0. e) Pruebe que si P es matriz deproyección, entonces la matriz P + AP − P AP también lo es para cualquier matriz A ∈ Mn×n ( ). f ) Si A ∈ Mn×m ( ), B ∈ Mm×n ( ) tal que AB = In entonces BA es matriz de proyección. 14. Se dice que una matriz cuadrada A es antisimétrica si At = −A. a) Demuestre que los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica son todos iguales a cero. b) Demuestre que, dada cualquier matriz cuadrada...