hola

UNIDAD 7:

1
DETERMINANTES:

Determinantes de orden 2:
Sea V2 (K) un espacio vectorial de dimensión 2 sobre un cuerpo K, y una base B del mismo:
B = ( u1 , u2 ). Y sean dos vectores de V2 u y v cuyas componentes en la base B son las

⎛x⎞

⎛ x' ⎞

⎝ ⎠

⎝ ⎠

siguientes: u = ⎜ ⎟ y v = ⎜ ⎟ , se denomina determinante de la cupla ( u, v ) al escalar x.y’ – y.x’,
⎜y⎟
⎜ y' ⎟
que sepuede anotar así: det (u, v )B =

x x'
= x.y’ – y.x’
y y'

Fijada una base en el espacio vectorial, existe el determinante para cada par de vectores de V2 y
éste es único, lo que nos permite definir una función DETERMINANTE:
det: V2 x V2 → K
( u, v )

→ det ( u, v ) =

x x'
= x.y’ – y.x’
y y'

Esta función verifica las siguientes propiedades:
1) Es una forma bilineal:
Es decir quees lineal respecto a cada vector.
Que sea lineal respecto a u significa que:
- det ( u1 + u2 , v ) = det ( u1 , v ) + det ( u2 , v )
- det ( t.u, v ) = t. det ( u, v )
Que sea lineal respecto a v significa que:
- det ( u , v1 + v2 ) = det ( u , v1 ) + det ( u, v2 )
- det ( u, t. v ) = t. det ( u, v )

siendo u = u1 + u2
para todo t de K

siendo v = v1 + v2
para todo t de K

2) Esuna forma alternada:
( ∀ ( u, v ) ∈ V22 ) : det ( u, v ) + det ( v , u ) = 0
o bien det ( u, v ) = - det ( v, u )
3) El determinante se anula si se repiten vectores:
( ∀ u ∈ V2 ) : det ( u, u ) = 0
Determinantes de orden 3
Sea V3 (K) un espacio vectorial de dimensión 3 sobre un cuerpo K, y una base B del mismo: B = (
u1 , u2 , u3 ). Y sean tres vectores de V3 u , v y w cuyas componentes en labase B son las

⎛x⎞
⎜ ⎟
siguientes: u = ⎜ y ⎟ , v =
⎜z⎟
⎝ ⎠

⎛ x' ⎞
⎜ ⎟
⎜ y' ⎟ , w =
⎜ z' ⎟
⎝ ⎠

⎛ x' ' ⎞
⎜ ⎟
⎜ y' ' ⎟
⎜ z' ' ⎟
⎝ ⎠

Se denomina determinante de la terna ( u, v, w ) a un escalar que puede calcularse como:

x x' x' '
det ( u, v, w ) = y y' y' '
z z' z' '

x x'
y y' = x.y’.z’’ + x’.y’’.z + x’’.y.z’ – z.y’.x’’ – z’.y’’.x – z’’.y.x’
z z'

Este escalar,una vez que se fija una base, siempre se puede calcular y es único, esto nos permite
definir una función DETERMINANTE:

UNIDAD 7:

2

det: V3 x V3 x V3 → K

x x' x' '
( u, v , w ) →det (u, v, w) = y y' y' ' = x.y’.z’’ + x’.y’’.z + x’’.y.z’ – z.y’.x’’ – z’.y’’.x – z’’.y.x’
z z' z' '
Esta función verifica las siguientes propiedades:
1) Es una forma trilineal:
Es decir que es linealrespecto a cada vector.
Que sea lineal respecto a u significa que:
- det ( u1 + u2 , v , w) = det ( u1 , v, w ) + det ( u2 , v , w )
- det ( t.u, v, w ) = t. det ( u, v, w )

siendo u = u1 + u2
para todo t de K

De manera análoga se expresa la linealidad respecto a v y a w.
2) Es una forma alternada:
( ∀ ( u, v, w ) ∈ V33 ) :
det (u, v, w) = det (v, w, u) = det (w, u, v) = - det (u, w, v)= - det (v, u, w) = - det (w, v, u)
3) El determinante se anula si se repiten vectores:
( ∀ ( u, v, w ) ∈ V33 ) :
det (u, u, v) = det (u, u, w) = det (u, v, v) = det (u, w, w) = det (v, w, w) = det ( v, v, w) = 0

Determinante de orden n
Sea Vn (K) un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K, y una base B del mismo.

⎛
⎜
⎜
Y sean n vectores de Vn cuyas componentes en la base Bson : vi = ⎜
⎜
⎜
⎝

x1 ⎞
⎟
x2 ⎟
, siempre existe un
... ⎟
⎟
xn ⎟
⎠

único escalar denominado determinante de la n – upla (v1, v2, ..., vn ) cuyo cálculo analizaremos
posteriormente. Pero que nos permite definir una función DETERMINANTE de la misma forma
que lo hicimos anteriormente y que verifica ser:
1) Una forma n – lineal, es decir lineal para cada uno de los n vectores.
2)Una forma alternada, cada vez que se permuta el orden de los vectores cambia el signo
del determinante.
3) Si se repite uno de los vectores el determinante se anula.

Determinante de una matriz de orden nxn
De orden 2x2:
Sea V2 un K espacio vectorial, B una base de él, B = ( u1, u2 ), y sea f un endomorfismo en V2, del
cual se conoce:

⎛a⎞

⎛c ⎞

⎛a c ⎞
⎟ es la matriz asociada a la...