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Platón: El principal discípulo de Sócrates fue Platón, quien también afirmaba que la filosofía moral era más importante que la ciencia, aunque no en el caso de las matemáticas. Estuvo también influenciado por la visión de Parménides que niega a los sentidos la posibilidad de generar conocimiento, y también por los pitagóricos, tanto en la epistemología como en su valoración sobre los números.Esto último se puede ver por ejemplo en la cosmología que desarrolla en el Timeo.
Podemos decir que una combinación de tanto la visión heredada de Sócrates como la influencia de Parménides y Pitágoras se encuentra a la base de la "teoría de las formas'' desarrollada por Platón, tema que luego ampliaremos.
Después de los sofistas, fueron Platón (427 - 347 a.C.) y sus discípulos los queasumieron un papel decisivo en la Atenas antigua. Se presume que Teodoro de Cirene (c. 470 a.C.) y Arquitas de Tarento (428 - 347 a.C.), ambos pitagóricos, enseñaron matemáticas a Platón. Esta influencia específica debe ser tomada en cuenta a la hora de interpretar la historia de la filosofía y las matemáticas griegas.
Platón estableció con claridad el carácter abstracto de las matemáticas y susentidades, y las vinculó a otras como la justicia y bondad, y, también, afirmó las matemáticas como una preparación para la filosofía y para el conocimiento de un mundo ideal que era considerado el único verdadero.
Platón distinguió entre los objetos físicos y los entes abstractos como en las matemáticas, declaró que el mundo físico era imperfecto, más bien, una realización imperfecta de un mundoideal perfecto: el único que vale la pena estudiar. El conocimiento infalible solo puede serlo sobre ese mundo ideal, cuyos entes y relaciones son permanentes, incorruptibles y eternas.
Es en este contexto intelectual que se deben explicar dos de los supuestos aportes de la escuela platónica: el método analítico y el método de reducción al absurdo. En el primero se busca de partir de lo que setrata de demostrar y para extraer consecuencias hasta encontrar una verdad o una contradicción. Si se llega a una contradicción, lo que se supuso se asume como demostrado que era falso. Si se llega a una verdad, hay demostración de verdad, y solamente se revierte el proceso hacia atrás, para llegar a lo supuesto. El método indirecto de reducción al absurdo, ya lo mencionamos, se atribuye tambiéna Hipócrates de Quíos.
Para Platón, el conocimiento debe organizarse de manera deductiva. Podemos decir que fue este filósofo quien sistematizó estas reglas para la demostración rigurosa. Es decir: organización deductiva a partir de verdades conocidas. Esto es realmente importante. Puede dársele todo el crédito a Platón o no, aquí y para toda la historia de la ciencia y las matemáticas, larealidad es que se estaba estableciendo una metodología para la creación del conocimiento matemático. Pero de una manera en que se eliminaban procedimientos y hechos aceptados en las matemáticas desde siglos antes de los griegos, que hacían referencia a la heurística, la intuición, la inducción, la exploración sensorial, la vinculación con lo empírico, etc.
Entonces, a partir de premisasfilosóficas específicas se estaban definiendo los límites y los métodos de las matemáticas: es éste un ejemplo de una auténtica construcción social, histórica, de una disciplina cognoscitiva, con todos los factores que suelen participar.
Ahora bien, la pregunta que emerge es acerca de la razón para este extraordinario énfasis en la deducción. Es uno de los temas más apasionantes de la filosofía de lasmatemáticas.
Una opinión que se suele ofrecer es la relación estrecha entre filósofos y matemáticos, los primeros en busca de obtener verdades, es decir, resultados libres del error, de lo probable, de lo simplemente aproximado. La deducción permitía obtener resultados verdaderos, seguros. La inducción o la experimentación no lo permitían.
Otra razón que tuvo que haber jugado un papel...