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Introdución a la Lógica
por 
Stefan Waner y Steven R. Costenoble

2. Lógica Equivalente, Tautologia, y Contradición
Hemos sugerido en la sección previa que ciertas proposiciones son equivalentes. Por ejemplo, decimos que (pq)r y p(qr) son equivalentes — un hecho al que llamamos la ley asociativo de la conjugación. En esta sección, usamos tablas de verdad para decir precisamente lo quesignifica la equivalencia lógica, y también estudiamos ciertas proposiciones que son "evidentemente verdaderas" ("tautológicas"), o "evidentemente falsas" ("contradictorias").
Podemos comenzar con algunos ejemplos de tablas de verdad de proposiciones compuestas.
Ejemplo 1 Construcción de una tabla de verdad
Construye la tabla de verdad para ~(pq).
Solución
Siempre que encontramos una formulacompleja como esta, nosotros podemos trabajar desde dentro hacia fuera, como podamos hacer si tuviéramos que evaluar una exprección algebraica semejante, como -(a+b). Por lo tanto, primero comenzamos con las columnas p y q, entonces construimos la columna pq, y finalmente, la columna ~(pq):
p
q
pq
~(pq)
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
Observa como obtenemos la columna ~(pq) desdela columna pq: al invertir todos sus valores de verdad, porque eso es lo que significa la negación.

Ejemplo 2 Construcción de un tabla de verdad
Construye la tabla de verdad para p(pq).
Solución
Porque hay dos variables, p y q, empezamos otra ves con las columnas p y q. Trabajando desde adentro de los paréntesis, evaluamos pq, y finalmente tomamos la disyunción del resultado con p:
p
q
pqp(pq)
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
Antes de seguir...
¿Comó obtuvimos la ultima columna des las demás? Ya que estamos "disyunciendo" p con pq, tenemos que ver los valores en las columnas p y pq y "disyuncirlos," de acuerdo con, las instrucciones para la disyunción. Así como por ejemplo en el segundo renglón obtenemos VF = V, y en el siguiente renglón, obtenemos FF = F. (Sives el segundo renglon de la tabla de verdad para disyunción mirarás V | F | V, y en ultimo renglón mararás F | F | F ).

Examplo 2P Práctica la construcción de una tabla de verdad
Construye la tabla de verdad para ~p(pq).
Solución
Como anterior, comenzamos con dos columnas que muestran las cuatro posibilidades para p y q.
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
Porque la expreción involucra lanegación, ~p, de p, añadomos una columna para ~p. (Teclea "V" o "F" en cada espacio en blanco y oprime "Verificar". Puedes untilizar la tecla "tabulador" para ir de una célula a otra.)
Principio del formulario
p
q
~p
V
V

V
F

F
V

F
F


 
     
Porque nuestra expreción, ~p(pq), tanbién involucra pq, añadimos una columna para pq. Antes de rellenas los valores, observa que los valores deverdad de esta nueva columna dependen solamente de las columnas para p y q (puedes ignorar la columna "~p" para este paso).
p
q
~p
pq
V
V
F

V
F
F

F
V
V

F
F
V


 
     
A hora podemos completar la tabla de verdad para la expreción entera: ~p(pq) para calcular la conjugación de las ultimas dos columnas arriba:
p
q
~p
pq
~p(pq)
V
V
F
V

V
F
F
V

F
V
V
VF
F
V
F


 
     
Esto nos da la tabla de verdad completa.
Final del formulario

Examplo 3 Tres Variables
Construye la tabla de verdad para ~(pq)(~r).
Solución
Aquí hay tres variables: p, q y r. Por lo tanto empezamos con tres columnas iniciales para mostrar las ocho posibilidades:
p
q
r
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F

F
V
V

F
V
F

F
F
V

F
F
F

Ahoraañadimos columnas para pq, ~(pq) y ~r, y finalmente ~(pq)(~r) de acuerdo con las instrucciones para estos operadores lógicos. Aquí vemos como la tabla crece mientras que la construimos:
p
q
r
pq
~(pq)
~r
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
Y finalmente,
p
q
r
pq
~(pq)
~r...