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Superficies Cuádricas

Sesión de Ejercicios 3 Superficies Cuadráticas
Definición:
Una superficie cuadrática ( o cuádrica ) es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0 donde A, B, C, …, J son constantes.

1. Elipsoide.
Tiene por ecuación

x2

y2 z2 + 2 + 2 =1a2 b c

Las trazas del elipsoide son elipses, es decir, la intersección con planos paralelos a los planos coordenados es una elipse
x2 z2 Si y = 0 ⇒ + = 1 elipse a2 c2

Si x = 0 ⇒

y2 z2 + = 1 elipse 2 c2 b

Si z = 0 ⇒

x2 y2 + = 1 elipse 2 b2 a

2. Hiperboloide de una hoja.
Tiene por ecuación

x2 a2

+

y2 b2

−

z2 c2

=1

Las trazas del hiperboloide son hipérbolas enplanos paralelos al plano XZ

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Superficies Cuádricas

y al YZ, mientras que en planos paralelos al XY las trazas son elipses.

y2 z2 Si x = 0 ⇒ − = 1 Hiperbola b2 c2
Si z = 0 ⇒ x2 y2 + = 1 Elipse a2 b2

Si y = 0 ⇒

x2 z2 − = 1 Hiperbola a2 c2

El eje por donde se abre el hiperboloide es por el eje cuya variable aparece en la ecuación negativa ( en este caso eje z). La diferenciafundamental entre el hiiperboloide de una hoja y el elipsoide es que tiene una variable con signo negativo.

3. Hiperboloide de dos hojas.
x2 y2 z2 Tiene por ecuación − − + =1 a2 b2 c2 Las trazas de esta superficies son: Para planos paralelos a XZ son hipérbolas al igual que para planos paralelos al YZ.
z2 y2 si x = 0 ⇒ − = 1 hiperbola c2 b2 si y = 0 ⇒ z2 x2 − = 1 hiperbola c2 a2

Sediferencia de las otras superficies ya que tiene dos variables negativas .

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4. Paraboloides
x2 y2 − = 1 imposible!! ! ⇒ no hay gráfica 2 b2 a
x2

si z = 0 ⇒ −

Tiene por ecuación

y2 z + 2 = c a2 b Las trazas del paraboloide son: Para planos paralelos al XY son elipses, para planos paralelos al XZ o al YZ son parábolas.

y2 z Si x = 0 ⇒ = b2 c
Si y = 0 ⇒ x2 z = a2c

b2z ⇒ y2 = c
a2z ⇒ x2 = c

parábola

parábola

Si z = K

⇒

y2 x2 k + = c a2 b2

Elipse , y si a = b Círculo

Su diferencia con las otras cuádricas es que tienen una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el mismo signo.

5. Paraboloide hiperbólico.
c a b Su diferencia fundamental con las otras superficies es que ella tiene en su ecuación unavariable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el signos contrarios. Trazas:
x2 z = 2 c a
Tiene por ecuación

x2
2

−

y2
2

=

z

si y = 0 ⇒

parábolas

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si x = 0 ⇒ −

y2 z = b2 c

parábolas

x2 y2 a si z = 0 ⇒ − = 0 ⇒ x = y Dos rectas! ! 2 b2 b a

6. Conos
La superficie cuádrica que tiene por ecuación

y2 x2 z2 += a2 b2 c2
Se denomina Cono.
Z

Las trazas del cono son:

Si x = 0 ⇒

y2 z2 b = ⇒ y = z Dos rectas c b2 c2 x2 z2 a Si y = 0 ⇒ = ⇒ x = z Dos rectas c a2 c2
si z = K ⇒ x2 y2 k2 + = Elipse, ¿Y si a = b? a2 b2 c2 X

Y

7. Cilindro circular recto:

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Cuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuación de la superficie, Entonces la superficie es unCilindro. Por ejemplo:

x2 + y2 = a2
Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráfica del cilindro se extenderá paralelo al eje z

En el plano:

En el Espacio:

z Y

a

x

y

x

8. Cilindro circular recto con eje en el eje y :
x 2 + z 2 = a2

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Considere la ecuación:

En el plano:

En el Espacio
z

z

a
xy

x

8. Cilindro parabólico:
Considere la ecuación x 2 + y = 0 , que corresponde a una parábola en el

plano xy, al variar z se obtiene la superficie

En el plano

En el espacio

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9. Cilindro elíptico con eje en el eje z:
Considere la ecuación de la elipse eje x se obtiene la superficie En el espacio En el plano
y 2 + ( 4 z 2 ) = 4 en el plano yz , al...