hola

Ejercicios - Inducci´n matem´tica
o
a
Prof. Edwin Fl´rez G.
o
Utilice Inducci´n matem´tica para demostrar que la f´rmula dada se cumple
o
a
o
para toda n ∈ Nk , los naturales iniciando desdecierto k. Determine el valor
de k.

1.

Los de empezar

1. 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) = n2 .
2. 2 + 4 + 6 + 8 + · · · + 2n = n(n + 1).
n(3n + 1)
.
2

3. 2 + 3 + 5 + 8 + · · · + (3n− 1) =
4.

1
2

n

<

1
.
n

5. a + (a + d) + (a + 2d) + · · · + (a + (n − 1)d) =

n[2a+(n−1)d]
.
2

6. 2n < n! donde n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1)n.
7. 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ·· · + n(n − 1) =
8. 12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 =
9. 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =
10. 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =

n(n + 1)(n + 2)
.
3

n(2n − 1)(2n + 1)
.
3

n(n + 1)(2n + 1)
.
6n(n + 1)
2
1

2

.

11. 14 + 24 + 34 + · · · + n4 =

n(n + 1)(6n3 + 9n2 + n − 1)
.
30

12. 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 2n = 2n+1 − 1.
13. 1 + 3 + 9 + 27 + · · · + 3n =

3n+1 − 1
.
214. 1 +

1 1
1
1
+ + ··· + n = 2 − n.
2 4
2
2

15. 1 −

1 1
1
+ − ··· + − n
3 9
3

16.

22

=

1
3
1 − − n+1
4
3

.

1
1
1
1
3
1
1
+ 2
+ 2
+· · ·+
= −
−
.2−1
−1 3 −1 4 −1
(n + 1)
4 2(n + 1) 2(n + 1)

17. n2 + n es par.
18. n3 − n es divisible entre 6.
19. n(n2 + 5) es divisible entre 6.

2.

Los intermedios

1. n <

n2 − n
+ 2.
122. n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 es divisible entre 9.
3. x + y es un factor de xn + y n .
4. 3n + 25 < 3n .
5. | sen nx| ≤ n| sen x| para todo x.
6. x − y es un factor de xn − y n .
7. Demuestre quesi 2k − 1 es un entero par para alg´n entero k, entonces
u
2(k + 1) − 1 = 2k + 2 − 1 = 2k + 1 es tambi´n un entero par. ¿Puede
e
obtener una conclusi´n a partir de la demostraci´n?
o
o
a
ıgonoconvexo
8. La suma de las medidas de los ´ngulos interiores de un pol´
de n lados (sin hoyos ni aboyaduras) es (n − 2)π.
2

9. El n´mero de diagonales de un pol´
u
ıgono convexo de n lados...