Hola

Escola d’Enginyeria de Telecomunicaci´ i Aeroespacial de Castelldefels o Universitat Polit`cnica de Catalunya e Matem`tiques de la Telecomunicaci´ a o Curs 2011-2012, quadrimestre de primavera, 19 demar¸ 2011 c

1r control: Transformada de Laplace

1. (3.5 punts) Trobeu les antitransformades de les dues funcions seg¨ents utiu litzant la descomposici´ complexa (en el resultat final no deixeunombres como plexos): F (s) = 2s − 1 , s(s − − 2j)(s + 2j) 2s − 1 e−3s . G(s) = 2 (s − 2j)(s + 2j) s(s − 1) 1)2 (s

Soluci´: Descomponem F (s) en fraccions simples: o F (s) = s(s − 1)2 (s 2s − 1 D AB C D = + + + + . 2 − 2j)(s + 2j) s s − 1 (s − 1) s − 2j s + 2j

Trobem els coeficients A, B, C, D, D: A = sF (s) |s=0 = C = B = D = D = 1 2s − 1 =− , 2 (s2 + 4) (s − 1) 4 s=0 2s − 1 1 (s − 1)2 F (s)|s=1 = = , 2 + 4) s(s 5 s=1 1 d d 3 2s − 1 [(s − 1)2 F (s)] = = ··· = , 2 + 4) 1! ds ds s(s 25 s=1 s=1 2s − 1 −1 + 4j 3 − 4j 13 + 16j (s − 2j)F (s)|s=2j = = = , s(s − 1)2 (s + 2j) s=2j 8(3 + 4j) 3 −4j 200 13 − 16j . 200 3 1 1 1 13 + 16j 1 13 + 16j 1 11 + + + + . 2 4 s 25 s − 1 5 (s − 1) 200 s − 2j 200 s + 2j

Aleshores, F (s) = −

Fem l’antitransformada de Laplace de F (s) i obtenim: 1 f (t)= − + 4 1 = − + 4 1 = − + 4 1 = − + 4 3 t e + 25 3 t e + 25 3 t e + 25 3 t e + 25 1 t te + 5 1 t te + 5 1 t te + 5 1 t te + 5 13 + 16j 2jt 13 + 16j −2jt e + e = 200 200 13 2jt 16j 2jt (e + e−2jt ) +(e − e−2jt ) = 200 200 13 16j 2 cos(2t) + 2j sin(2t) = 200 200 13 4 cos(2t) − sin(2t). 100 25

Ara tenim G(s) = s(s −

1)2 (s

2s − 1 e−3s . − 2j)(s + 2j)

Segons la propietat de translaci´,la seva antitransformada de Laplace ´s o e 1 3 1 13 4 f (t) = − + et−3 + (t − 3)et−3 + cos(2(t − 3)) − sin(2(t − 3)) u(t−3). 4 25 5 100 25 2. (3 punts) Trobeu l’antitransformada de Laplace de lafunci´ seg¨ent, utilitzant o u la completaci´ de quadrats en el denominador: o F (s) = s2 2s + 6 . − 4s + 13

Soluci´: Apliquem completaci´ de quadrats al denominador de F (s): o o F (s) = 2s + 6 s+3...