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RESEÑA HISTÓRICA Y APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS DEL PLANO1

Susana Moriena Facultad de Humanidades y Ciencias – Universidad Nacional del Litoral Prov. de Santa Fe (Argentina) smoriena@yahoo.com.ar TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN LA HISTORIA En este trabajo presentaremos el surgimiento y la evolución de la noción de transformación. Este estudio nos parece importante visto elrol de las transformaciones en la geometría moderna y el esclarecimiento que puede aportar en cuanto al lugar que debe ocupar este tema en la enseñanza de la geometría. Comenzamos haciendo algunas referencias históricas a la Geometría de Euclides. Esta geometría, más allá de la exposición deductiva que la caracteriza y de una descripción teórica de la realidad, domina todo el período comprendidoentre la antigüedad y la geometría de Hilbert a fines del siglo XIX. Como es sabido, el libro I de los Elementos comienza con una lista de definiciones, postulados y nociones comunes (Euclides, 1991). Estas primeras definiciones dadas por Euclides hacen referencia a cierta percepción de los objetos de la realidad, y su rol es exponer los fundamentos de la geometría basándose en el sentido común. Esdecir, corresponden a descripciones idealizadas de objetos del mundo real, o que se puedan concebir a partir de su observación. En todos los casos, estas proposiciones primordiales: definiciones, postulados, son elementos de los teoremas derivados de ellas. La metodología de Euclides se apoya en una lectura de la figura descripta como si ésta fuera familiar, como su condición de objeto idealfuera natural. Analicemos la Proposición 4, que hoy llamamos primer criterio de igualdad de triángulos, donde se describe una práctica utilizando movimientos que perderá su carácter empírico para tomar la forma de teorema: “Si dos triángulos tienen dos lados de uno iguales a dos lados del otro, y tienen iguales los ángulos comprendidos por los lados iguales, tendrán también las respectivas basesiguales, y un

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Este trabajo es parte de una tesis de la Prof. Susana Moriena sobre las transformaciones rígidas del plano, siendo el Director, Dr Néstor Aguilera, Investigador del CONICET

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triángulo será igual al otro, y los ángulos restantes, a saber: los subtendidos por lados iguales, serán también iguales respectivamente.” (Euclides-Libro I). Estas proposiciones o criterios deigualdad de triángulos son a la vez de orden empírico y fundadores de un método racional, ya que enuncian condiciones de igualdad que van a permitir el desarrollo del método deductivo. El uso del método de superposición de las figuras, ha dado lugar al debate alrededor del recurso de aplicación de un movimiento o de la idea de desplazamiento natural para superponer las figuras. Estos desplazamientos queintervienen, son desplazamiento de figuras y no transformaciones que operan sobre el espacio como conjuntos de puntos. Para Euclides, según mi criterio, no hay concepto de transformación, se limita a establecer correspondencia entre los elementos de dos figuras mediante la superposición para afirmar la igualdad de las mismas. Estas diferencias entre la geometría de la observación y la geometría dela deducción, nacida en Grecia, continuará jugando un rol importante en la historia de las matemáticas.

EVOLUCIÓN DE LA NOCIÓN DE TRANSFORMACIÓN Los problemas de representación de los objetos del espacio y los problemas de sombra fueron preocupación de los pintores y artistas del Renacimiento. La descripción del mundo real se convirtió en el objetivo de la pintura. Los artistas emprendieron elestudio de la naturaleza para reproducirla fielmente en sus lienzos y se enfrentaron al problema matemático de presentar el mundo real tridimensional en un lienzo bidimensional. Filippo Brunelleschi (1377-1446) (fue el primer artista que estudió y utilizó intensivamente las matemáticas), Leonardo da Vinci (1452- 1519) (quien escribió su obra "Tratatto della pintura" sobre la perspectiva,...