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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CUAUTLA

METODOS NUMERICOS

Maestro
Mauro Cortez

TEMA
METODO DE NEWTON-RAPHSON

Presenta
Jiménez Guerrero Karla Itzel.

H.H. Cuautla, Morelos Octubre 2010.
METODO DE NEWTON-RAPHSON
En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el métodode Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera dealcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandesen el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivasiteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.
Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n

Donde f ' denota la derivada de f.
Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita cognoscible. Existenvariantes del método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etc.
OBTENCIÓN DEL ALGORITMO
Tres son las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de Newton-Raphson.
La primera de ellas es una simple interpretacióngeométrica. En efecto, atendiendo al desarrollo geométrico del método de la secante, podría pensarse en que si los puntos de iteración están lo suficientemente cerca (a una distancia infinitesimal), entonces la secante se sustituye por la tangente a la curva en el punto. Así pues, si por un punto de iteración trazamos la tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el nuevo puntode iteración se tomará como la abscisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje X). Esto es equivalente a linealizar la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (x0, f (x0)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, f'(x0). La nueva aproximación a la raíz, x1, se logra la intersección de la función lineal conel eje X de ordenadas. Matemáticamente:

Ilustración de una iteración del método de Newton (la función f se demuestra en azul y la línea de la tangente está en rojo). Vemos que xn + 1 es una aproximación mejor que xn para la raíz x de la función f.
En la ilustración adjunta del método de Newton se puede ver que xn + 1 es una mejor aproximación que xn para el cero (x) de la función f.
Una formaalternativa de obtener el algoritmo es desarrollando la función f (x) en serie de Taylor, para un entorno del punto xn:

Si se trunca el desarrollo a partir del término de grado 2, y evaluamos en xn + 1:

Si además se acepta que xn + 1 tiende a la raíz, se ha de cumplir que f(xn + 1) = 0, luego, sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos el algoritmo.
Finalmente, hay que indicar que...