Homotecia

TRANSFORMACION

Es una descripción de la relación que existen entre dos conjuntos con dominio en Rn y rango en Rn tal que n= (2; 3)

TRANSFORMACION GEOMETRICA
Podemos entender a lastransformaciones geométricas como aquel conjunto de instrucciones para mover Rn, dichas instrucciones pueden estirar el plano, darle vuelta sobre sí mismos o deformarlo de algún u otro modo, cuando el cuerpo enRn se mueve sin deformación (traslación, rotación o simetría) se dice que se mueve mediante una transformación rígida; pero si Rn es contraído, estirado o doblado sobre si mismo entonces estamos frentea una transformación no rígida.
Entre las transformaciones no rígidas tenemos a la homotecia.

TRANSFORMACION DE HOMOTECIA
Elementos
Punto O: centro de homotecia
OPOP1=k
Razón k: razón dehomotecia
P1= Hom P(O; k)
Se lee:
El punto P1 es el homotético del punto P, con centro de homotecia O y razón k.

Teorema 1
Todos los puntos homotéticos de una recta de centro O y razón k seencuentran ubicados en otra recta.
Demostración
Sean P, Q y R los puntos homotéticos de A, B y C de centro O y razón k respectivamente tal que A, B y C se encuentran en una recta, entonces
OAOP=OBOQ=kLuego por el reciproco del 1º corolario de teorema de Thales AB//PQ
Entonces la m∢OBA=m∢OPQ=θ
Análogamente m∢OBC=OQR=ω
En el punto B: θ+ω=180°
Luego en el punto Q: θ+ω=180°
Por lo tanto los puntosP, Q y R pertenecen a una recta
También se puede decir que el homotético de una recta es otra recta.

Consecuencias del teorema 1
a) Una recta y su homotético son paralelas.
b) Un segmentoy su homotético son paralelos.

Propiedad
Si P= Hom A(O; k), ABPQ=k y AB//PQ
Entonces Q= Hom B(O; k)
Otra lectura:
Si OAOP=ABPQ y AB//PQ
Entonces los puntos O, B y Q son colineales.Demostración
Como P = Hom A (O; k) entonces
el segmento homotético de AB contiene a P.
Luego al prolongar OB se determina Q1 entonces
PQ1 = Hom AB (O; k) luego ABPQ1=k
Pero por condición de la...