Horner (metodo)

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El método de Ruffini-Horner para la búsqueda de un valor aproximado de la raíz de un polinomio fue publicado con algunos años de diferencia por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) y porWilliam George Horner (1819-1845, póstumamente); al parecer Horner no tenía conocimiento de los trabajos de Ruffini.
El método de Ruffini-Horner es difícilmente explotable si el polinomio poseedos raíces muy cercanas. Ruffini no evoca esta problemática, pero Horner propone un procedimiento especial para estos casos.2 El método de Horner fue utilizado por los matemáticos DeMorgan y J.R. Young.
En tanto que técnica de cambio de variable, históricamente se encuentran algoritmos parecidos; por ejemplo en China, para la extracción de la raíz n-ésima;3 en la obra deAl Samaw'al (siglo XII).4 El matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (siglo XII) fue uno de los primeros en aplicarlo al caso general de una ecuación de tercer grado.5
Algoritmo
La Reglade Ruffini establece un método para división del polinomio

entre el binomio

para obtener el cociente

y el resto

1. Se trazan dos líneas a manera de ejes y se escriben loscoeficientes de P(x), ordenados y sin omitir términos nulos.
Se escribe la raíz r del lado izquierdo y el primer coeficiente en el renglón inferior (an):

2. Se multiplica (an) por r y seescribe debajo de an-1:

3. Se suman los dos valores obtenidos en la misma columna:

4. El proceso se repite:

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante de grado unomenos que el grado de . El residuo es
Ejemplo
División de

entre

utilizando la regla de Ruffini.
1. Se escribe y el primer coeficiente (2) en el primer renglón:

2.Multiplicando por la raíz r(=-1):

3. Sumando la columna:

4. El procedimiento se repite hasta obtener el residuo:

Si el polinomio original = divisor×cociente+resto, entonces
, donde
y
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