Identidades trigonometricas

TRIGONOMETRÍA

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

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SEGUNDO SEMESTRE

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3.1 FÓRMULAS FUNDAMENTALES

La base del estudio de este inciso está en las siguientes 11 fórmulas que a continuación se van a deducir, llamadas fórmulas trigonométricas. Se parte de las definiciones elementales (las cuales seestudiaron en la secundaria) de cada una de las funciones trigonométricas, referidas a la figura 31.

sen θ = tan θ =

y r y x

; ;

cos θ =

x r

cot θ = csc θ =

x y r y

r
θ

y

sec θ =

r x

;

x
figura 31

3.1.1) FÓRMULAS DE LOS INVERSOS O DE LOS RECÍPROCOS Un número es el inverso de otro, respecto de cierta operación, si al operar ambos entre sí dan como resultado elelemento neutro de esa operación. Por ejemplo: en la suma el elemento neutro es el cero, ya que el cero no altera o deja inalterado a todo número. De manera que el inverso del número + 14 es el - 14, ya que al operar ambos dan como resultado el cero (el elemento neutro de la suma). Por eso se le llama inverso aditivo . En la multiplicación, el elemento neutro es el uno, ya que el uno dejainalterado en la multiplicación

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a cualquier número. De manera que el inverso de 8 es 1/8, ya que al multicarlos da como resultado el uno (el elemento neutro de la multiplicación). Por eso se le llama inverso multiplicativo . Un sinónimo de inverso multiplicativo es recíproco . De tal manera que el significado que a las siguientes seisfórmulas se le va a dar al término inverso es el de inverso multiplicativo , o sea que multiplicadas entre sí dan el elemento neutro de la multiplicación: el uno. Por otra parte, cabe recordar que si un número n es el inverso multiplicativo de otro número m, lo que significa que nm = 1, entonces puede escribirse por simple despeje que

n=

1 m

o bien

m=

1 n

Puede verse en las relacionestrigonométricas de la página 40 que la función seno y la función cosecante son recíprocos o inversos multiplicativos, ya que de su multiplicación se obtiene

y r i = 1 ; igualmente el coseno con la secante son inversos multiplicativos, ya que de su r y
multiplicación se obtiene

x r i = 1 y de la misma forma la tangente con la cotangente tamr x y x i = 1 . De manera que las primeras x ybién lo son, ya que de su multiplicación se obtiene

seis fórmulas trigonométricas, llamadas por eso de los inversos o recíprocos , son:

1 ○

sen θ =

1 csc θ 1 cot θ 1 cos θ

2 ○

cos θ =

1 sec θ 1 tan θ 1 sen θ

3 ○

tan θ =

4 ○

cot θ =

5 ○

sec θ =

6 ○

csc θ =

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A las fórmulas anteriorestambién se les conoce con el nombre de fórmulas de los recíprocos ya que, en particular, a los inversos multiplicativos se les llama recíprocos. Dos números son recíprocos si se invierten respectivamente el numerador con el denominador. Por ejemplo, 3/4 y 4/3 son recíprocos; 2/9 y 9/2 son recíprocos. Es claro que si se multiplican entre sí dan la unidad, o sea el elemento neutro de lamultiplicación, por lo que, conforme a la definición de la página 40, los recíprocos son también inversos. ¡Cuidado: los inversos son también recíprocos solamente en la multiplicación!.

3.1.2 FÓRMULAS DEL COCIENTE Dividiendo el seno entre el coseno (ver figura 31, página 40) se tiene que:

y sen θ yr y = r = = = tan θ x cos θ xr x r
e inversamente, dividiendo el coseno entre el seno se obtiene:

x cos θxr x = r = = = cot θ y sen θ yr y r
De manera que las siguientes dos fórmulas, llamadas del cociente, son:

7 ○ 8 ○

sen θ = tan θ cos θ cos θ = cot θ sen θ

3.1.3 FÓRMULAS DE LOS CUADRADOS O PITAGÓRICAS Aplicando el teorema de Pitágoras a la figura 31 de la página 40, se tiene que (A)

r 2 = x2 + y 2

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a) Dividiendo la...