Identidades y ecuaciones trigonometricas

Identidades trigonométricas
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valorque pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades, abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otraaplicación importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces laintegral resultante usando identidades trigonométricas.
A continuación unos problemas de aplicación.
Problema 1

Calcular el valor de K, en:
senβcotβ-tanβ=K(sec2β-1)(cotβ-1)(tanβ-1)
Solución:
Primerohallemos el valor de:
cotβ-1)(tanβ+1=(cotβ·tanβ+cotβ-tanβ-1)
=(1+cotβ-tanβ-1)
cotβ-1tanβ+1=(cotβ-tanβ) (I)

Se sabe que:
1+tan2β=sec2β
sec2β-1=tan2β (II)

Luego:senβcotβ-tanβ=K(sec2β-1)(cotβ-1)(tanβ-1)

Reemplazando ( I ) y ( II ) en el problema.
senβcotβ-tanβ=K(tan2β)(cotβ-tanβ)
senβ=K(tan2β-1)
senβ=Ksen2βcos2β
senβcos2βsen2β=K
cos2βsenβ=K
O también:
cosβsenβ·cosβ=K(cotβ)(cosβ)=K

Problema 2

Simplifique la siguiente expresión:
L=1-sen2θ1+cotθ-cos2θ1+tanθ

Solución:

Recordando la regla de dividir fracciones & recordando productos notables:L=1-(senθ+cosθ)(sen2θ-senθcosθ+cos2θ)senθ+cosθ
Simplificamos (senθ+cosθ):
L=1-(sen2θ-senθcosθ+cos2θ)
Acomodamos los términos:
L=1-(sen2θ+cos2θ-senθcosθ)
Sabemos que: sen2θ+cos2θ=1
L=1-(1-senθcosθ)
Efectuando:L=1-1+senθcosθ
L=senθcosθ

Si simplificamos el primer corchete, reemplazando
el equivalente a cotθ=1tanθ
L=sen2θ1tanθ1+1tanθ+cos2θtanθ1+tanθ
L=sen2θ1tanθtanθ+1tanθ+cos2θtanθ1+tanθL=sen2θ11+tanθ+cos2θtanθ1+tanθ
Dividiendo a ambos miembros, a L y a la expresión
trigonométrica por cos2θ:
Lcos2θ=sen2θ11+tanθ+cos2θtanθ1+tanθcos2θ
Hacemos que cos2θ afecte a cada uno de los términos:...