Identidades

MATERIA:
GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA

TITULO:
TODO LO REFERENTE A IDENTIDADES

FUENTE(S):
http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_1.html
http://matematica.laguia2000.com/general/identidades-trigonometricas
http://es.scribd.com/doc/91815/TRIGONOMETRIA
http://es.scribd.com/doc/99030/Identidades-Trigonometricas-Fundamentales
http://es.scribd.com/doc/56805/RESUMEN-IDENTIDADES-TRIGONOMETRICASIDENTIDADES TRÍGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
Cosec α=1sen α
Sec α= 1cos α
Cot α= 1tg α = cosαsen α

RELACIÓN SENO COSENO
cos² α + sen² α = 1

RELACIÓN SECANTE TANGENTE
sec² α = 1 + tg² α

RELACIÓN COSECANTE COTANGENTE
cosec² α = 1 + cotg² α

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS
Cos (a+b) = cos a cos b + sen a sen b
Cos (a-b) = cos a cos b – sen a sen b
Sen(a+b) = sen a cos b + cos a sen b
Sen (a-b) = sen a cos b – cos a sen b
Tg (a+b) = tg a + tg b1-tg a .tg b
Tg (a-b) = tg a- tg b1+tg a .tg b

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE:
PUEDEN OBTENERSE REEMPLAZANDOLO Y POR X (O SEA sin( x + x ) = sin ( 2x )) EN LAS IDENTIDADES ANTERIORES, Y USANDO PITÁGORAS PARA LOS DOS ÚLTIMOS (A VECES ES ÚTIL EXPRESAR LA IDENTIDAD EN TÉRMINOS DE SENO, O DECOSENO SOLAMENTE), O BIEN APLICANDO LA FÓRMULA DE DE MOIVRE CUANDO n=2
Tg 2a = 2 tg a 1-tg2 a

Cos 2a = 2 cos2 a - sen2 a
Sen 2a = 2 sen a cos a

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD
Sen A2 = ±1-cosA2
Tg A2 = ±1-cosA1+cosA
Cos A2 = ±1+cosA2

TRANSFORMACIONES DE SUMAS EN PRODUCTOS
Cos A + cos B = 2 cos A+B2 cos A-B2
Cos A + cos B = 2 sen A+B2 sen A-B2

Sen A + sen B = 2 sen A+B2cos A-B2
Sen A + sen B = 2 cos A+B2 sen A-B2

TRANSFORMACIONES DE PRODUCTOS EN SUMAS
Sen A . cos B = 12 [sen (A + B) + sen (A – B)]
Cos A . sen B = 12 [sen (A + B) - sen (A – B)]

Cos A . cos B = 12 [cos (A + B) + cos (A – B)]
Sen A . sen B =- 12 [cos (A + B) - cos (A – B)]

IDENTIDADES PARA LA REDUCCIÓN DE EXPONENTES:
RESUELVE LAS IDENIDADES TERCERA Y CUARTA DEL ÁNGULO DOBLE PARAcos2(x) Y sin2(x)
Cos2(x) = 1+cos(2x)2
Sin2 (x) = 1-cos(2x)2

IDENTIDADES DEL MEDIO ÁNGULO:
REEMPLAZANDO x/2 POR x EN LAS ANTERIORES, ES POSIBLE RESOLVER cos(x/2) Y sin(x/2)
|Cos (x2)|= 1+cos(X)2
|Sin (x2)|= 1-cos(X)2
Tan (x2) = sin(x)cosx+1 = 1-cos(x)sin(x)
MULTIPLICANDO tan(x/2) POR 2cos(x/2) / ( 2cos(x/2)) Y REEMPLAZANDO sin(x/2) / cos(x/2) POR tan(x/2). EL NUMERADOR ES ENTONCES sin(x)POR LA IDENTIDAD DEL ÁNGULO DOBLE, Y EL DENOMINADOR ES 2cos²(x/2) - 1 + 1 QUE ES cos(x) + 1 POR LA IDENTIDAD DEL ÁNGULO DOBLE. LA SEGUNDA IDENTIDAD SEOBTIENE MULTIPLICANDO LA PRIMERA POR sin(x) / sin(x) Y SIMPLIFICANDO MEDIANTE LA IDENTIDAD PITAGÓRICA

PASO DE PRODUCTO A SUMA:
PUEDE PROBARSE USANDO EL TEOREMA DE LA SUMA PARA EXPANDIR LOS SEGUNDOS MIEMBROS
Cos (x) cos (y) = cosx+y+cos(x-y)2
Sin(x) sin (y) = cosx-y-cos(x+y)2
Cos (x) sin (y) = siny+x+sin(y-x)2

PASO DE SUMA A PRODUCTO:
Sin (a) + sin (b) = 2sina+b2cosa-b2
Cos (a) + cos (b) = 2cosa+b2cosa-b2

LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS SON IGUALDADES QUE INVOLUCRAN FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. ESTAS IDENTIDADES SON SIEMPRE ÚTILES PARA CUANDO NECESITAMOS SIMPLIFICAR EXPRESIONES QUE TIENEN INCLUIDAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS,CUALESQUIERA QUE SEAN LOS VALORES QUE SE ASIGNEN A LOS ÁNGULOS PARA LOS CUALES ESTÁN DEFINIDAS ESTAS RAZONES.LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS NOS PERMITEN PLANTEAR UNA MISMA EXPRESIÓN DE DIFERENTES FORMAS. PARA SIMPLIFICAR EXPRESIONES ALGEBRAICAS, USAMOS LA FACTORIZACIÓN, DENOMINADORES COMUNES, ETC. PERO PARA SIMPLIFICAR EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS UTILIZAREMOS ESTAS TÉCNICAS EN CONJUNTO CON LASIDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.

EL COSENO DE UN ÁNGULO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO SE DEFINE COMO LA RAZÓN ENTRE EL CATETO ADYACENTE Y LA HIPOTENUSA

Cos α = bc

DEFINIREMOS SENO COMO LA RAZÓN ENTRE EL CATETO OPUESTO Y LA HIPOTENUSA EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Sin (α) = ac
IDENTIDADES RECÍPROCAS:

Tan θ = 1cot θ
Cot θ = 1tan θ
Cos θ = 1sec θ
Sec θ = 1cos θ
Sen θ = 1cos θ
Csc θ = 1sen θ...