IDENTIFICAR LOS NUMEROS REALES EN LA RECTA NUMERICA

Valor absoluto
En la siguiente gráfica, los números -3 y 3 representan las coordenadas de dos puntos distintos en la recta numérica. Sin embargo, ambos están situados a la misma distancia del 0.


El punto correspondiente a - 3 está situado a la izquierda del 0 a la misma distancia que el punto correspondiente a 3 que se encuentra situado a la derecha.

Esto se indica con la notación valorabsoluto:
½ - 3½ = 3: valor absoluto de -3 es 3.
½ 3½ = 3: valor absoluto de 3 es 3.
Si a es un número real entonces a es la coordenada o abscisa del punto A sobre la recta real o numérica. El símbolo ½ a½ indica el número de unidades entre el punto A y el origen. El número ½ a½ , no negativo, se llama valor absoluto de a.

Para un número positivo a resulta que su valor absoluto coincide con élmientras que si el número es negativo su valor absoluto es el opuesto de a. Además como 0 es el origen es evidente que ½ 0½ = 0.
Desde el punto de vista geométrico el valor absoluto de un número es la distancia entre el punto y el origen.
Desde el punto de vista algebraico, se define el valor absoluto de un número de la siguiente manera:
½ a½ =
El valor absoluto de todo número real es un número nonegativo.
En símbolos:
Propiedades del valor absoluto
½ a.b½ = ½ a½ .½ b½ , " a, " b
, " a, " b ¹ 0
½ a + b½ £ ½ a½ +½ b½ , donde a, b Î R (desigualdad triangular)
" a : ½ a½ = ½ -a½
Distancia entre dos puntos
El concepto de valor absoluto permite definir la distancia entre dos puntos cualesquiera de la recta real. Por ejemplo, la distancia entre los puntos de abscisas 3 y 8, es 5.
Esta distanciase obtiene al restar las coordenadas de los puntos: 8 - 3 = 5.

Utilizando valor absoluto ½ 8 - 3½ = 5. Como ½ 3 - 8½ también es 5, se concluye que no importa el orden en el que se realice la resta.
De la misma manera si se desea determinar la distancia entre los puntos de abscisas -2 y 5:
½ 5 - (-2)½ = ½ 5 + 2½ = ½ 7½ = 7

½ - 2 - 5 ½  = ½ -7½ = 7
 
Para calcular la distancia entre dos puntosubicados a la izquierda del origen, se obtiene:

½ - 3- (-2)½ = ½ - 3 + 2½ = ½ - 1½ = 1

½ - 2- (-3)½ = ½ - 2 + 3½ = ½ 1½ = 1
Definición. Sean a y b las coordenadas o abscisas de los puntos A y B sobre la recta real. La distancia entre ellos está dada por:
d(A, B) = ½ a - b½ = ½ b - a½          

Se puede observar que la distancia entre el origen O y el punto A está dada por:
d(A, 0) = ½ a - 0½ = ½0 - a½ = ½ a½
 
El concepto de valor absoluto de un número se emplea en algunas definiciones importantes en el estudio del Cálculo. Se resolverán ecuaciones e inecuaciones en las que interviene dicho concepto.
Ejemplos. Determine él o los valores de x que verifican cada igualdad o desigualdad:
· ½ x½ = 3
Desde el punto de vista geométrico ½ x½ = 3 significa que la distancia del o los valores dex al cero debe ser tres. De aquí resulta que las soluciones de esta ecuación son x = 3 y x = -3.
S = { 3 ; –3}

· ½ x½ < 3
En este ejemplo se deben considerar todos los números que distan del origen menos de tres unidades. La solución de la inecuación son todos los números reales entre - 3 y 3, es decir, - 3 < x < 3. Resulta el intervalo abierto (-3, 3).
S = { x / -3 < x < 3} = (-3, 3)

· ½x½ £ 3
Los valores de x que satisfacen la desigualdad son todos los que se encuentran a una distancia del cero menor o igual a tres. Por lo tanto el conjunto solución está formado por –3, 3 y todos los números reales comprendidos entre ellos. Resulta el intervalo cerrado [-3, 3].
S = { x / -3 £ x £ 3} = [-3, 3]

· ½ x½ > 3
Realizando el mismo análisis que en los ejemplos anteriores, resulta que losvalores de x que verifican la desigualdad son aquellos que están a más de 3 unidades del origen. La solución es el conjunto de los números reales mayores que 3 o menores que -3. La solución se puede escribir como unión de dos intervalos abiertos: (-¥ , -3) È (3, +¥ ).
S = { x / x £ -3 ó x ³ 3} = (-¥ , -3) È (3, +¥ )

· ½ x½ ³ 3
La solución es el conjunto de números reales mayores o iguales...